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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 37.Problemas adicionais - Ex. 60

Distancia temporal entre dois eventos. Os eventos A e B ocorrem nas seguintes coordenadas espaçotemporais nos referenciais da Fig. 37-25: no referencia S , ( x a , t a ) e ( x b , t b ) ; no referencial S ' , ( x a ' ,   t a ' ) e ( x b ' , t b ' ) . No referencial S , Δ t = t b - t a = 1,00   μ s e Δ x = x b - x a = 240   m . (a) Escreva uma expressão para Δ t ' em termos do parâmetro de velocidade β e dos dados do problema. Faça um gráfico de Δ t ' em função de β (b) para 0 ≤ β ≤ 0,01 e (c) para 0,1 ≤ β ≤ 1 . (d) Para que valor de β o valor de Δ t ' é o mínimo? (e) Qual é o valor mínimo? (f) Um dos dois eventos pode ser a causa do outro? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos utilizar a Eq. 2’ da tabela 37-2, onde relacionamos o tempo que se passa no referencial S ' com o tempo no referencial S em função do fator β . Vamos também plotar os gráficos após termos a equação de Δ t ' em função de β e encontrar os valores mínimos da função.

Passo 2

  1. Vamos começar utilizando a equação mencionada no passo 1. Ela é da seguinte forma

    2. Δ t ' = γ ⋅ Δ t - β ⋅ Δ x c

    Substituindo os valores dados no problema, temos que Δ t = 1,00   μ s , Δ x = 240   m e

    c = 2,998 × 10 8   m / s . Assim, a equação fica

    Δ t ' = γ ⋅ 1,00   μ s - β ⋅ 240   m 2,998 × 10 8 m / s = γ ⋅ 1,00 - 0,800 ⋅ β   μ s

    Com γ variando com β da seguinte forma

    γ = 1 1 - β 2

    Passo 3

  2. Para plotarmos o gráfico, vamos analisar a equação. Temos que para valores muito pequenos de β , γ será aproximadamente 1. Dessa forma, temos que para o primeiro intervalo onde 0 ≤ β ≤ 0,01 a equação ficará como de primeiro grau, da forma

    3. Δ t ' ≈ 1,00   - 0,800 ⋅ β   μ s

    Passo 4

  3. Para esse novo intervalo, temos que a equação será do tipo

    4. Δ t ' = 1 1 - β 2 ⋅ 1,00 - 0,800 ⋅ β   μ s

    E para o intervalo dado, temos que a equação se comportará da seguinte forma

    Passo 5

  4. Para encontrarmos o valor de β para qual Δ t ' é mínimo, temos que derivar a equação e igualar a 0. Derivando então, temos que

    5. d Δ t ' d β = d d β 1 1 - β 2 ⋅ - β ⋅ Δ x c + Δ t

    Usando a regra do produto para derivar essa equação maravilhosa, chegamos que

    d Δ t ' d β = γ 3 ⋅ β ⋅ Δ t - Δ x c = 0

    Temos que a única maneira dessa equação ser 0 é se

    β = Δ x ⋅ c Δ t = ( 240   m 2,998 × 10 8   m / s ⋅ 1   μ s = 240   m 299,8   m = 0,801

    Passo 6

  5. Substituindo esse valor que encontramos na primeira equação que encontramos (já faz tantos passos...será que ainda me lembro?), temos que nosso valor mínimo para Δ t ' será

    6. Δ t ' = 1 1 - 0,801 2 ⋅ 1,00 - 0,800 ⋅ 0,801 = 0,599   μ s

    Passo 7

  6. Ufa! Finalmente o último passo. Foi muito bom sofrer com vocês até aqui. Como no referencial de qualquer um dos eventos, os acontecimentos não ocorrem simultaneamente, temos que é possível sim que um seja a causa do outro.

Resposta

  1. Δ t ' = γ ⋅ 1,00 - 0,800 ⋅ β   μ s

d) β = 0,801

e) Δ t ' = 0,599   μ s

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