Dois fios longos e paralelos, cada um com raio a cujos centros estão separados por uma distância d, são percorridos por correntes iguais, mas em sentidos opostos. Mostre que, desprezando o fluxo dentro dos próprios fios, a indutância para um comprimento deste par de fios e dada por:

L = μ o l π ln ⁡ d - a a

Veja o Exemplo 31-3, pag. 188. (Sugestão: calcule o fluxo através de um retângulo que tem os fios como lados).

Passo 1

Oii pessoal, show de bola??

“A loucura é como a gravidade, só precisa de um empurrãozinhooo...”

Bora empurrar e macetar essa questãozinha comigo agora

Se a origem for escolhida como estando sobre o eixo do fio a direita e r medir a distância a partir deste eixo, a integração se estender a desde r   =   a   a t é   r   =   d   -   a .

Considere primeiramente o fio a direita.

Na região de integração o campo que ele produz entra na página e tem magnitude B   =   µ 0 i / 2 π r .

Divida a região em tirinhas de comprimento e largura d r , como indicado.

O fluxo através da tirinha a uma distância r do eixo do fio e d Φ   =   B l d r e o fluxo atraves da região toda é

ϕ = μ 0 i l 2 π ∫ a d - a d r r = μ 0 i l 2 π ln ⁡ d - a a

Passo 2

O outro fio produz o mesmo resultado, de modo que o fluxo total através do retângulo tracejado é

ϕ t o t a l = 2 π = μ 0 i l 2 π ln ⁡ d - a a

Portanto, nos temos que para a indutância total é

L = ϕ T o t a l i = μ 0 l π ln ⁡ d - a a

Passo 3

A indutância L tambem pode ser encontrada combinando-se a lei da indução de Faraday e a Eq. 33-11, de modo que

- L d i d t = - d ϕ B d t

O fluxo é calculado pela seguinte integral

ϕ B = ∫ B ⋅ d A

A área de integração para o fluxo e a área de uma espira formada por dois fios imaginários adicionados para conectar os dois fios dados, fechando o circuito.

O comprimento dos novos fios e muito pequeno comparado com o comprimento dos fios iniciais; assim, podemos ignorar a contribuic¸ao daqueles.

Entao, o campo magnético B e a soma dos dois campos magnéticos dos fios iniciais.

Passo 4

Note que os dois campos possuem o mesmo sentido (para dentro da página) e, portanto, segundo a Lei de Ampere (Eq. 17 do Cap. 31, pag. 191), temos:

B r = μ 0 i 2 π r + μ 0 i 2 π d - r

B(r) nao varia na direção paralela aos fios e, portanto, para d A utilizamos um retangulo muito estreito de comprimento e largura d r ; escolhendo o sentido de d A para dentro da pagina (o mesmo sentido de B), temos:

ϕ B = ∫ B r l d r cos ⁡ 0 °

= μ 0 i l 2 π   ∫ 1 r + 1 d - r d r

= μ 0 i l π ln ⁡ d - a a

Então, podemos concluir que

d ϕ B d t = μ 0 l π d i d t ln ⁡ d - a a = L d i d t

Portanto, sem levar em consideração o fluxo dentro do fio, encontramos:

L = μ 0 l π ln ⁡ d - a a

“Faça seus medos terem medo de você”

Resposta

Resposta nos passos.

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