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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 16.7 - Ex. 51

Duas ondas são geradas em uma corda com 3,0   m de comprimento para produzir uma onda estacionária de três meios comprimentos de onda com uma amplitude de 1,0   c m . A velocidade da onda é 100 m s . A equação de uma das ondas é da forma y x , t = y m s e n ( k x + ω t ) . Na equação da outra onda, determine (a) y m , (b) k , (c) ω e (d)o sinal que precede ω .

Passo 1

Primeiro, vamos entender como a equação de uma onda estacionária é gerada. Ela vem da superposição das equações de duas ondas que se propagam em uma mesma direção, mas em sentidos diferentes. Lembra que o sentido de propagação de uma onda é determinado pelo sinal de ω na equação dela? Imagine então duas ondas que se propagam ao longo de x com as seguintes equações:

y 1 = y m sen ⁡ k x - ω t

y 2 = y m sen ⁡ k x + ω t

Quando elas se encontram, formam uma onda estacionária resultante, cuja equação a gente encontra a partir da soma das outras duas acima. Tipo assim:

y r e s = y 1 + y 2

y r e s = y m sen ⁡ k x - ω t + y m sen ⁡ k x + ω t

y r e s = y m sen ⁡ k x - ω t + sen ⁡ k x + ω t

Logo:

y r e s = 2 y m sen ⁡ k x c o s ⁡ ( ω t )

Passo 2

(a)Beleza! Percebe que o enunciado diz que 2 y m = 1,0   c m ? Sim, a amplitude da onda estacionária resultante é o valor que multiplica o seno e o cosseno em:

y r e s = 2 y m sen ⁡ k x c o s ⁡ ( ω t )

Então, a gente já pode tirar que y m = 0,5   cm = 0,005   m

Passo 3

Aqui na letra (b) precisamos lembrar que:

k = 2 π λ

Precisamos então do valor de λ para encontrarmos k . Mas ele é dado no enunciado, quando ele diz que a corda tem 3,0   m de comprimento e que a onda estacionária resultante tem três meios comprimentos de onda. Disso, a gente tem que

L = 3,0   m = 3 λ 2

Então:

λ = 2,0   m

Logo:

k = 2 π 2

k = π   rad/m

Passo 4

(c) A freqüência angular é dada por ω = 2 π × f . A gente pode encontrar rapidamente f por meio dessa equação:

v = λ × f

Então:

f = v λ

f = 100   m/s 2,0   m

f = 50   s -1

Ou em Hz :

f = 50   H z

Logo:

ω = 2 π × 50

ω = 314   rad/s

Passo 5

(d)Se a equação de uma das ondas é

y 2 = y m sen ⁡ k x + ω t

então a da outra possui um sinal negativo em ω , pois ela se move em sentido contrário.

Resposta

  1. 0,005   m
  2. π   rad/m
  3. 314   rad/s
  4. Negativo
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