Duas partículas e de mesma massa estão presas por molas de constante elástica , comprimento relaxado e massa desprezível, a paredes verticais opostas, separadas de ; as massas podem deslizar sem atrito sobre uma superfície horizontal. Tem-se e . No instante , a partícula é deslocada de cm para a esquerda e de um centímetro para a direita, comunicando-se a elas velocidades de magnitude , para a esquerda (partícula 1) e para a direita (partícula 2). (a) Escreva as expressões dos deslocamentos e das duas partículas para . (b) As partículas irão colidir uma com a outra? Em que insatnte? (c) Qual a energia total do sistema?

Vamos começar pela partícula , temos as seguintes condições iniciais:

Estamos supondo que é positivo para a direita. Pela primeira condição temos:

E para aplicar a segunda, temos que derivar :

Então temos um sistema (lembrando que ):

Dividindo a segunda equação pela primeira podemos achar :

Agora é só substituir isso na primeira equação para encontrar :

Então a primeira equação é:

A partícula tem a mesma equação geral da partícula :

A única diferença é que suas condições iniciais têm sinais trocados:

Então, fazendo as mesmas substituições de antes, ficamos com:

E dividindo as duas equações, encontramos o mesmo resultado de antes:

E jogando na primeira equação, encontramos:

Ou seja:

(b) Agora queremos saber se as partículas irão colidir em algum instante. Só precisamos ver se nossas funções terão o mesmo valor em algum momento:

A única solução para essa equação aparece quando os dois cossenos se anulam! Ou seja:

O cosseno se anula quando seu argumento vale , então:

(c) Vamos lembrar da fórmula para a energia de um oscilador harmônico:

Então para o nosso sistema de duas molas, a e energia total é: