Encontre (a) o módulo da velocidade máxima e (b) a aceleração máxima da partícula no Problema 29. (c) Qual é a primeira vez em que a partícula está em x = 0 e movendo-se para a direita?

Passo 1

Olá, então, vamos relembrar o que esse problema 29 disse?

No Problema 29, a equação do movimento da partícula é:

x = 7,0   c m cos ⁡ 6 π t

Vamos usar a equação para obter o que cada item pede.

Passo 2

a) Queremos a velocidade máxima em módulo. Para resolver essa, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da função posição. Então para achar v t , vamos derivar x t :

x = 7 cos ⁡ 6 π t

Usando a regra da cadeia

v = d x d t = 7 × 6 π × - s e n 6 π t

v = - 42 π   s e n 6 π t

A velocidade máxima em módulo vai ser quando v for máximo em módulo. Isso acontece quando o seno é máximo. O maior valor que o seno pode atingir é 1 , então vamos substituir s e n 6 π t = 1 a nossa expressão e tirar o módulo

v = - 42 π   1 = - 42 π

v m á x = v = 42 π

Ficamos com:

v m á x = 42 π   c m / s ≈ 132   c m / s

O que responde a letra (a).

Passo 3

b) E para a aceleração máxima, precisamos lembrar que a derivada da velocidade é a aceleração. Então vamos derivar a velocidade:

v = - 42 π   s e n 6 π t

Usando a regra da cadeia

a = d v d t = - 42 π × 6 π × c o s 6 π t

a = - 252 π 2   c o s 6 π t

A aceleração máxima em módulo vai ser quando a for máximo em módulo. Isso acontece quando o cosseno é máximo. O maior valor que o cosseno pode atingir é 1 , então vamos substituir c o s 6 π t = 1 a nossa expressão e tirar o módulo

a = - 252 π 2   1 = - 252 π 2

a m á x = a = 252 π 2

a m á x ≈ 2487 m / s 2

Passo 4

c) Queremos descobrir qual é o primeiro instante a partícula está em x = 0 , mas com a velocidade para a direita (positiva)

Vamos substituir x = 0 na equação da posição

x = 7 cos ⁡ 6 π t

0 = 7 cos ⁡ 6 π t

cos ⁡ 6 π t = 0

Para o cosseno zerar (sem passar pelos mesmos pontos do círculo trigonométrico), precisamos que o argumento seja π 2 ou seja 3 π 2 , então temos as duas opções

6 π t = π 2 → t = 1 12 s

6 π t = 3 π 2 → t = 1 4 s

Passo 5

Agora vamos usar esses resultados na equação da velocidade, para acharmos o sentido do movimento:

v = - 42 π   s e n 6 π t

Substituindo t = 1 / 12 :

v = - 42 π   s e n 6 π 1 12

v = - 42 π   s e n π 2 = - 42 π 1 = - 42 π

Sendo negativo, o movimento é para a esquerda.

E para t = 1 / 4 :

v = - 42 π   s e n 6 π 1 4

v = - 42 π   s e n 3 π 2

v = - 42 π - 1 = 42 π

Que será para a direita, pois é positivo, e é o que a gente procura. Assim, o instante que ele pede é

t = 1 4 s = 0,25 s

Resposta

( a ) v m á x ≈ 132   c m / s

( b ) a m á x ≈ 2487 m / s 2

( c ) t = 0,25 s

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