Enunciado
Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol1 - Ed: 1º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 47a
Dois planetas hipotéticos de massas e e raios e , respectivamente, estão quase em repouso quando separados por uma distância infinita. Por causa de sua atração gravitacional, eles se dirigem um ao outro em rota de colisão. Quando a separação de centro a centro é , encontre expressões para a velocidade de cada planeta e sua velocidade relativa. Encontre a energia cinética de cada planeta pouco antes de colidir, tendo , , e . Observação: Tanto a energia quanto o impulso do sistema isolado de dois planetas são constantes.
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Na situação descrita pelo enunciado o momento total do sistema tem que ser conservado, já que não temos nenhuma influência externa, assim:
O momento total inicial é zero, já que as partículas estão em repouso e vãos considerar o momento final no ponto onde eles estão separados por então:
O sinal de negativo é por conta de eles terem sentidos opostos.
Para encontrar expressões para essas velocidades vamos usar ao nosso favor outra grandeza que é conservada, a energia total do sistema.
Inicialmente a energia total era zero, pois os planetas estavam em repousos e muito distantes, em um estante onde a separação deles é eles já têm energia cinética e potencial, assim:
A partir dessas duas expressões vamos encontrar algo para e .
Tendo essas velocidades fica mais tranquilo encontrar as energias cinéticas de cada planeta ates de colidir, já que poderemos dizer que , a distância de centro a centro é igual a soma dos raios deles.
Vamos nessa!
Passo 2
Temos o seguinte então:
Substituindo a expressão que encontramos para , temos:
Assim temos que:
Passo 3
Agora como temos podemos achar , já que:
Assim:
Passo 4
Agora por último a velocidade relativa vai ser dada por:
Assim:
Passo 5
Agora vamos calcular a energia cinética de cada planeta pedida .
Vamos começar com o planeta , temos:
Usando que , temos:
Substituindo os valores conhecidos, temos:
Passo 6
Vamos para o planeta , temos:
Usando que , temos:
Substituindo os valores conhecidos, temos:
Prontinho, finalizamos com sucesso!