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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 55

Estrelas grandes podem explodir depois que terminam de queimar seu combustível nuclear, causando o aparecimento de uma supernova. A explosão detona as camadas externas da estrela. De acordo com a terceira lei de Newton, as forças que empurram para fora as camadas externas correspondem a forças de reação direcionadas para o centro da estrela. Essas forças comprimem o núcleo e podem fazer com que este entre em colapso gravitacional. As forças gravitacionais continuam atraindo toda a matéria cada vez mais comprimida, esmagando os átomos. Sob essas condições extremas, um próton e um elétron podem ser comprimidos juntos e formar um nêutron. Se o colapso for interrompido quando todos os nêutrons estiverem em contato entre si, o resultado é um objeto chamado de estrela de nêutrons, uma estrela inteira composta de matéria nuclear sólida. Muitas estrelas de nêutrons giram em torno de seu eixo com período de rotação da ordem de 1 s e, enquanto o fazem, emitem um pulso de onda eletromagnética a cada segundo. Essas estrelas foram descobertas na década de 1960 e são chamadas de pulsares.

a. Considere uma estrela de nêutrons com massa igual à do Sol, raio de 10 km e período de rotação de 1,0 s. Qual é o valor da velocidade de um ponto do equador da estrela?

b. Qual é o valor de g na superfície da estrela de nêutrons?

c. Uma massa estacionária de 1,0 kg tem peso, sobre a Terra, de 9,8 N. Qual seria seu peso sobre a estrela de nêutrons?

d. Quantas revoluções por minuto são efetuadas por um satélite em órbita a 1,0 km da superfície?

e. Qual é o raio de uma orbita geossíncrona em torno da estrela de nêutrons?

Passo 1

Neste exercício, deveremos nos lembrar dos conceitos de movimento circular e de gravitação.

Passo 2

  1. Sabemos que para um corpo em movimento circular vale a relação:

    2. v = r ω

    onde r é a distância até o eixo de rotação e ω a velocidade angular. Lembre-se que a velocidade angular ω se relaciona com o período T da seguinte forma:

    ω = 2 π T

    Portanto, segue que:

    v = 2 π r T v = 2 3,14 10 × 10 3 1,0 v = 6,28 × 10 4   m / s

    Passo 3

  2. Pela equação 13.7, temos que

    3. g = G M R 2 g = 6,67 × 10 - 11 1,99 × 10 30 1 × 10 4 2 g = 1,33 × 10 12   m / s 2

    Note que g é muito grande na superfície dessa estrela! Aqui na Terra, temos g ≈ 9,8   m / s 2 !!!

    Passo 4

  3. Sabemos que P = m g , onde m é a massa. O valor da massa é o mesmo, independente se estamos na Terra, no Sol, na Lua, ou na mais longínqua galáxia. Assim, temos:

    4. P = m g P = 1,0 1,33 × 10 12 P = 1,33 × 10 12   N

    Ou seja, um corpo de 1 kg teria um peso de 1,33 × 10 12   N !!!!

    Passo 5

  4. A força gravitacional que o satélite experimenta é também uma componente centrípeta. Logo,

    5. m v 2 d = G m M d 2 v = G M d

    onde d é a distância do centro do centro do planeta até o satélite (ver figura abaixo).

    Assim, segue que

    v = 6,67 × 10 - 11 1,99 × 10 30 1 × 10 4 + 1 × 10 3 v = 1,10 × 10 8   m / s

    Como vimos no item a.

    v = 2 π r T T = 2 3,14 1 × 10 4 + 1 × 10 3 1,10 × 10 8 T = 6,3 × 10 - 4   s

    Passo 6

  5. Por definição, uma órbita geossíncrona é aquela que possui mesmo período de rotação do planeta. Ora, mas esse período foi dado no item a. Sendo assim, e usando v = G M r , temos:

v = 2 π r T G M r = 2 π r T G M r = 4 π 2 r 2 T 2 r 3 = T 2 G M 4 π 2

Substituindo-se os dados, segue que:

r 3 = 1,0 2 6,67 × 10 - 11 1,99 × 10 30 4 3,14 2 r = 1,50 × 10 6   m

Resposta

  1. 6,28 × 10 4   m / s .
  2. 1,33 × 10 12   m / s 2 .
  3. 1,33 × 10 12   N .
  4. 6,30 × 10 - 4   s .
  5. 1,50 × 10 6   m .
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