Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 87
87. Uma expressão aproximada para a energia potencial de uma molécula de é , onde e . Usando essa aproximação: Mostre que o componente radial da força sobre cada átomo é dado por . Mostre que é a separação de equilíbrio. Ache a energia potencial mínima. Faça e use os dois primeiros termos do desenvolvimento do teorema binomial na Equação para demonstrar que , de modo que a constante da força é dada por . Como o átomo de e o átomo de vibram em sentidos opostos em lados opostos do centro de massa da molécula, é a massa que você deve usar para calcular a frequência. (Veja o Problema .) Calcule a frequência das oscilações com amplitudes pequenas.
Passo 1
Para encontrar a componente radial da força sobre os átomos, vamos utilizar a energia potencial entre os átomos fornecida pelo enunciado, tendo essa energia potencial temos que a força é dada por:
Então basta derivar a expressão da energia potencial em função de .
Para mostrar que é a separação de equilíbrio basta fazer , já que o sistema em equilíbrio a força resultante é zero, e vermos se é o único valor que pode assumir para que essa condição da força ser nula seja verdadeira.
Para encontrar a energia potencial mínima, primeiro temos que saber o ponto que ela é mínima, para isso vamos usar o que sabemos de cálculo.
Se derivamos uma função e encontramos o ponto no qual ela zera, esse ponto será um ponto de máximo ou mínimo, para verificar se é máximo ou mínimo, basta derivar mais uma vez e substituir esse ponto na expressão que chegamos e verificar o sinal dela se for negativo temos um ponto de máximo, se for positivo temos um ponto de mínimo.
Para resolver o item , vamos fazer a substituição sugerida e depois fazer a expansão que o enunciado fala para fazermos e depois é só manipulação matemática para chegar no que o enunciado quer.
Para resolvermos o item temos que usar fórmula da frequência de um que é dada por:
Tendo isso basta substituir a massa reduzida que o enunciado fornece e pela expressão que chegamos no item anterior, aí só calcular o valor da frequência.
Passo 2
Vamos encontrar a componente radial da força da forma como foi proposta no passo , temos:
Assim, temos que:
Passo 3
Agora vamos fazer e ver se satisfaz isso, assim:
Assim:
Então, temos que:
Logo é uma posição de equilíbrio do sistema.
Passo 4
Agora para achar o valor da energia mínima vamos derivar a função da energia potencial duas vezes, sendo que já derivamos uma vez para achar a força só que tinha um sinal negativo anterior a derivada, então é só retirar esse sinal aí temos a expressão correta da primeira derivada, então basta derivar essa expressão mais uma vez.
Pelo item anterior verificamos que zera que é a primeira derivada de , então basta verificar se faz com que a segunda derivada seja negativa ou positiva.
Vamos começar derivando então, temos:
Assim:
Fazendo , temos:
Logo é um ponto de mínimo, sendo assim, temos:
Temos então que:
Tendo os valores de e fornecidos pelo enunciado, ficamos com:
Passo 5
Inicialmente temos a seguinte fórmula para a força radial, que é:
Fazendo a substituição , temos:
Isolando no denominador, temos:
Tendo que seja muito menor do que , podemos fazer a expansão sugerida pelo enunciado usando os dois primeiros termos da expansão, assim:
Logo, temos que:
Comparando com , temos que:
Passo 6
Agora só nos resta usar a fórmula da frequência mostrada no passo , para achar a frequência do movimento, temos que:
Sabendo que e que , então temos que:
Usando o e o fornecido pelo enunciado, ficamos com:
Temos então que:
Resposta
A posição de equilíbrio é
Comparando com , temos que: