Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 88

88. Dois cilindros homogêneos de raio e massa total são conectados ao longo do seu eixo comum por uma barra leve e curta, e estão em repouso sobre uma mesa horizontal. Uma mola cuja constante é possui uma extremidade presa na mesa por uma braçadeira e sua outra extremidade é ligada a um anel sem atrito no centro de massa dos cilindros (Figura ). Os cilindros são puxados para a esquerda esticando a mola até uma distância , e a seguir são libertados. Existe entre o topo da mesa e os cilindros um atrito suficiente para fazer os cilindros rolarem sem deslizar à medida que eles oscilam na extremidade da mola. Mostre que o movimento do centro de massa dos cilindros é um , e calcule o seu período em termos de e de . (Sugestão: O movimento é harmônico simples quando a aceleração e o deslocamento são relacionados mediante a Equação e o período é então dado por . Aplique as relações e para os cilindros a fim de obter uma relação entre e o deslocamento dos cilindros de sua posição de equilíbrio.)

Passo 1

Quando o enunciado fala que temos atrito o suficiente para que o cilindro role sem deslizar, querendo ou não temos uma força de atrito no cilindro que acaba causando um torque, então utilizando a equação fornecida pelo enunciado, temos:

Temos que troque é força vezes distância até o centro de rotação, no nosso caso a força é a força de atrito e a distância é o raio do cilindro, o momento de inércia de um cilindro em relação ao eixo que passa pelo comprimento do cilindro é dado por , então:

Isolando a força de atrito, temos:

Mas vamos lembrar um pouco do que conhecemos de movimento circular, nesse movimento podemos expressar a aceleração do centro de massa, em termos do raio da trajetória e da aceleração angular, assim:

Assim:

Passo 2

Agora vamos utilizar a outra fórmula fornecida pelo enunciado que é:

Que nada mais é que a segunda lei de Newton para a direção .

Na direção , temos a força de atrito atuando para a esquerda quando o cilindro está indo para a direita, e temos a força elástica atuando para a direita, assim a equação acima fica:

Você deve ter se perguntado por que o lado direito ficou negativo, ele tomou essa forma pois como o cilindro está indo para a direita, por conveniência adotamos o lado direito como a posição negativa, então o cilindro tem uma força resultante negativa.

Continuando, vamos substituir a expressão que encontramos para a força de atrito, e depois isolar a aceleração, assim: