Faça o Problema 31 para quanto a partícula está inicialmente em x = 25   c m e movendo-se com velocidade v 0 = + 50   c m / s

Passo 1

Beleza, o Problema 31 nos pedia a equação da posição da velocidade e da aceleração, e nos dava o período T = 1.5   s , então pela equação da posição temos:

x = A c o s ( w t + δ )

E então precisaremos usar as informações do enunciado para calcularmos cada grandeza na equação. Lembrando que a amplitude não é x = 25   c m , como no Problema 31, por que nesse caso o enunciado não diz que ela parte do repouso nessa posição.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a frequência angular w

w = 2 π T

Substituindo o período:

w = 2 π 1.5   s = 4 π 3   s - 1 ≈ 4.19   s - 1

Além disso, sabemos a posição inicial e a velocidade inicial, e com isso, podemos calcular a fase:

x 0 = A c o s δ

v 0 = - w A s e n δ

Fazendo a razão entre elas:

v 0 x 0 = - w A s e n δ A c o s δ = - w t g δ

Então:

δ = a r c t g - v 0 w x 0

δ = a r c t g - 50 c m / s 4.19   s - 1 25   c m

δ ≈ - 0.445

E agora como temos a fase podemos usar ela na equação de posição inicial para acharmos a amplitude:

x 0 = A c o s δ

A = x 0 c o s δ = 25   c m c o s ⁡ ( - 0.445 ) ≈ 27.7   c m

Basta juntar tudo que calculamos agora, para escrevermos a equação da posição:

x = 0.28   m c o s ( 4.19   s - 1   t - 0.445 )

Passo 3

Para a velocidade, precisamos derivar a equação da posição:

v = d x d t = 4.19   s - 1   0.28   m s e n 4.19   s - 1   t - 0.445

v = - 1.2   m / s s e n 4.19 s - 1 t - 0.445

Passo 4

E para a equação da aceleração, precisamos derivar a velocidade:

a = d v d t =   4.19   s - 1 2   0.28   m c o s 4.19   s - 1   t - 0.445

a = - 4.9 m / s 2 c o s 4.19 s - 1 - 0.445

Resposta

( a ) x = 0.28   m c o s ( 4.19   s - 1   t - 0.445 )

( b ) v = - 1.2   m / s s e n 4.19 s - 1 t - 0.445

c a = - 4.9 m / s 2 c o s 4.19 s - 1 - 0.445

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