Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 37
A posição de uma partícula é dada por , com x em metros e t em segundos. (a) Determine a rapidez máxima e a aceleração máxima da partícula. (b)Determine a rapidez e a aceleração da partícula quando .
Passo 1
Essa questão pede informações sobre a velocidade e a aceleração da partícula, e nos dá a função posição:
Agora vamos lembrar que a derivada da função posição em relação ao tempo é a velocidade e a derivada da velocidade é a aceleração. Então derivando usando a regra da cadeia, temos
E derivando isso, temos a expressão da aceleração
Com isso em mente, vamos entrar nos itens!
Passo 2
a) Queremos a velocidade máxima e a aceleração máxima.
A velocidade máxima vai ser quando for máximo. Como nossa função tem um menos na frente, isso acontece quando o seno é mínimo. O menor valor que o seno pode atingir é , então vamos substituir a nossa expressão da velocidade
E a aceleração máxima vai ser quando for máximo. Como nossa função tem um menos na frente, isso acontece quando o cosseno é mínimo. O menor valor que o cosseno pode atingir é , então vamos substituir a nossa expressão da aceleração
E a letra (a) está respondida.
Passo 3
Queremos a velocidade e a aceleração quando .
Na letra (b), vamos precisar encontrar o valor de que equivale a usando a equação do movimento, e então substituir nas equações de velocidade e aceleração:
Substituindo o valor de , podemos achar um instante fazendo
E agora substituindo nas equações de velocidade e aceleração que achamos no passo 1
Aqui a gente deixa em módulo a resposta, porque a partícula vai passar nesse ponto mais de uma vez (aquela expressão de onde a gente achou tem vários como resposta, a gente só pegou um) Nesses vários instantes os sinais da velocidade mudam, mas o módulo não.
Então a gente podemos afirmar que certamente esse é módulo da velocidade quando estamos em .
Passo 4
Só falta substituir na expressão da aceleração:
Aqui a gente deixa o sinal negativo mesmo, pois a aceleração tem sempre sinal contrário ao sinal da posição no MHS. Como a nossa posição é positiva, a aceleração é negativa.