Na figura, duas molas iguais, de constante elástica 7580   N / m , estão ligadas a um bloco de massa 0,245   k g . Qual é a frequência de oscilação no piso sem atrito?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, essa questão exige um conhecimento maior da equação diferencial que expressa a função do oscilador harmônico. Mas vamos com calma galerinha...

Pensando só nas forças agora. Vamos escolher um sentido pra chamar de positivo e um ponto pra chamar de zero, desse jeito, saca só:

Passo 2

Belezera, agora vamos usar a fórmula da força elástica pra escrever a equação da força de cada mola.

Começando pela mola da esquerda: quando o bloco vai pra frente no sentido positivo, a mola tende a puxar ele de volta pra trás, ou seja:

F e s q = - k x

O sinal de negativo indica que a força é contrário ao movimento do bloco, atuando no sentido de restaurar a posição inicial do bloco.

Agora a mola da direita: Quando o bloco vai pra frente, a mola é comprimida de forma que a força que ela exerce sobre o bloco empurra ele pra trás, como novamente temos que a força é contrário ao sentido do movimento, temos que:

F d i r = - k x

Faz sentido, né? As duas molas querem manter o bloco onde ele está, então é compreensível que as forças tenham fórmulas iguais.

Sendo assim, a força resultante é dada como:

F R = F e s q + F d i r

F R = - k x - k x

F R = - 2 k x

E como estamos falando de um força resultante, então quer dizer que também possuímos uma aceleração resultante, tal que:

F R = m a R

Logo:

- 2 k x = m a

Passo 3

Agora que vem a malandragem, porque devemos lembrar lá das aulinhas de cálculo, sobre equações diferenciais ordinárias (EDO).

Saca só, a aceleração a ( t ) é simplesmente a derivada de segunda ordem do deslocamento x ( t ) , ou seja:

d 2 x t d t 2 = a t

x ' ' t = a t

Sendo assim, se a gente pegar a equação que descobrimos no Passo 2, temos que:

- 2 k x t = m a t

Logo:

- 2 k x t = m x ' ' t

m x ' ' t + 2 k x t = 0

Dividindo tudo pela massa:

x ' ' t + 2 k m x t = 0

Agora, pra não ter que resolver a EDO (o que dá bastante trabalho) podemos, com toda malandragem do mundo, lembrar que a EDO que descreve o oscilador harmônico segue essa fórmula aqui:

x ' ' t + ω 2 x t = 0

Onde esse ω é a frequência angular. Ou seja, comparando com a equação que encontramos, temos:

x ' ' t + 2 k m x t = 0 x ' ' t + ω 2 x t = 0

Sendo assim, teremos que:

ω 2 = 2 k m

ω = 2 k m

Passo 4

Portanto, agora vamos substituir os valores que a questão deu:

ω = 2 k m

ω = 2 7580 0,245

ω = 249   rad/s

Mas essa é a frequência angular, pra achar a frequência de oscilação, usamos a equação:

ω = 2 π f

Tal que:

f = ω 2 π

f = 249 2 π

f = 39,6   Hz

Resposta

A frequência de oscilação é f = 39,6   Hz

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