Um foguete é lançado a um ângulo do topo de uma torre com altura h 0 =   50,0   m . Devido ao projeto dos motores, suas coordenadas de posição estão na forma x t =   A +   B t 2   e y t = C + D t 3 sendo que A ,   B ,   C   e   D são constantes. Além disso, a aceleração do foguete 1,0   s após o lançamento é a → = ( 4,0   i → +   3,0 j → )   m / s 2 . Suponha que a origem das coordenadas esteja na base da torre.

a) Ache as constantes A ,   B ,   C   e   D , incluindo suas unidades S I .

b) No instante mediatamente após o lançamento do foguete, quais são seu vetor de aceleração e sua velocidade?

c) Quais são os componentes x e y da velocidade do foguete 10,0   s após seu lançamento e com que velocidade ele se desloca?

d) Qual o vetor posição do foguete 10,0   s após seu lançamento?

Passo 1

E aí! como vai?

As condições que o problema nos dá são:

t = 0 : x = 0   e   y = 50

t = 1 : a x = 4   e   a y = 3

Lembrando que a aceleração é a derivada segunda da posição, vamos derivar as posições duas vezes e aplicar as condições de contorno.

Em t = 0 :

0 = A + B . t 0 2 ∴ A = 0 m

50 = C + D 0 3 ∴ C = 50 m

Agora as derivadas:

v x = 2 B t ; a x = 2 B

v y = 3 D t 2 ; a y = 6 D t

E em t = 1 :

4 = 2 B ∴ B = 2 m / s 2

3 = - 6 D ∴ D = 0,5 m / s 2

Resumindo, as constantes são: A = 0 m ,   B = 2 m s 2 ,   C = 50 m ,   D = 0,5 m / s 3 .

Bora começar!

Passo 2

Em t = 0 , vetor velocidade é:

v → 0 = v x 0 i → + v y 0 j → = 2.2 . 0 i → + 3.0,5.0 2

v → 0 = 0 →

E a aceleração:

a → 0 = 2.2 i → + 6 D . 0 j →

a → 0 = 4 i →

Show?

Passo 3

As componentes da velocidade são:

v x = 2 B t ; v x = 4 t

v y = 3 D t 2 ; v y = 1,5 t 2

E 10 s após o lançamento são:

v x = 40 m / s

v y = 150 m / s

Ele se desloca com uma velocidade em módulo de:

v = 40 2 + 150 2

v = 155 m / s

Tranquilo até aqui?

Passo 4

O vetor posição é:

x t =   2 t 2

y t = 50 + 0,5 t 3

E em t = 10 s :

x 10 = 200 m

y 10 = 550 m

E o vetor posição:

r → = 200 i → + 550 j →

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

a )   A = 0 m ,   B = 2 m s 2 ,   C = 50 m ,   D = 0,5 m / s 3 .

b )   v → = 0 → ,   a → = 4 i →

c ) v = 155 m / s   v x = 40 m / s

v y = 150 m / s

d )   r → = 200 i → + 550 j →

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