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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 74

Uma força orientada no sentido positivo do eixo +Ox possui módulo F = b/xn, onde b e n são constantes.

a) Para n > 1, calcule o trabalho realizado por essa força sobre uma partícula que se move ao longo do eixo Ox desde x =xo até o infinito.

b) Mostre que para 0

Letra a

Passo 1

Inicialmente precisamos calcular o trabalho a partir da definição geral de trabalho:

w =   ∫ x 1 x 2 F x d x

Substituindo a Força pela função dada na questão, temos:

F x =   b x n

w =   ∫ x 1 x 2 b x n d x

Como sabemos que os estremos da integral são xo e ∞ , basta substituir e resolver a integral.

Ufa! Essa foi bem fácil não é mesmo?

Passo 2

Calculando...

w =   ∫ x o ∞ b x n d x

w =   b ( - n - 1 ) x n - 1   ∞ x o

w =   b ( n - 1 ) x o n - 1

Analisando a integral, para n > 1, x n - 1 → 0 assim como x → ∞ .

Resposta

Resposta: O trabalho é igual a b ( n - 1 ) x o n - 1 , tendo tais restrições: n > 1, x n - 1 → 0 assim como x → ∞ .

Letra b

Passo 1

Todo nosso cálculo partirá de análises. Como n está em um intervalo de 0 , usaremos a definição de integral imprópria através de limite!

Minha cabeça até doeu só em ver essa palavra “limite”, mas calma que isso não nem um bicho de 7 cabeças, talvez só umas duas rsrs. Vamos lá!

w =   lim x 2 → ∞ ⁡ b n - 1 ( x 2 n - 1 - x o n - 1 )

Agora vamos analisar toda essa equação para acharmos a solução do problema.

Passo 2

Por conta do expoente de x 2 n - 1 é positivo, o limite não irá existe e logo a integral será divergente.

A partir dessa interpretação, temos que a força F realizará uma quantidade infinita de trabalho mesmo que F   → 0 bem como x 2 → ∞ .

Resposta

Resposta: Mesmo que F   → 0 , o trabalho continuará a ser realizado em uma quantidade infinita.

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