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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 98

Um furo é feito da superfície da Terra até o seu centro, como na figura 11-30. Ignore a rotação da terra e a resistência do ar, e trate a Terra como uma esfera homogênea. (a) Qual é o trabalho necessário para erguer uma partícula de massa m do centro até a superfície da Terra? (b) Se a partícula é largada, do repouso, da superfície da Terra, qual é sua rapidez ao atingir o centro da Terra? (c) Qual é a rapidez de escape de uma partícula projetada do centro da Terra? Expresse suas respostas em termos de m ,   g e R T .

Passo 1

(a) Vamos voltar para definição de trabalho.

W = ∫ F → ⋅ d r →

Considerando positivo para cima, nossa F → = - F g → , então as fica assim ó:

W = ∫ 0 R - F g → ⋅ d r → = - ∫ 0 R F g d r ⋅ cos ⁡ 180 ° = ∫ 0 R F g d r

Agora precisamos descobrir a F g no interior da Terra:

F g = G M i n t m r 2

Vamos achar a massa( M i n t ) na esfera de raio r .

ρ = M T 4 3 π R T 3 = M i n t 4 3 π r 3 → M i n t = M T r 3 R T 3

Passo 2

Nossa F g fica assim:

F g = G M i n t m r 2 = G M T r 3 R T 3 m r 2 = G M T m R T 3 ⋅ r

Como g = G M T R T 2 :

F g = m g R T ⋅ r

Agora vamos achar o trabalho!

W = ∫ 0 R F g d r = ∫ 0 R m g R T ⋅ r d r = m g R T ⋅ r 2 2 | 0 R T

W = m g R T 2

(b) Nesse item, vamos conservar energia:

Δ E c = W t o t a l

m v 2 2 - 0 = m g R T 2

Logo,

v = g R T

Passo 3

(c) Nesse item, vamos fazer o seguinte primeiro vamos dar energia para ele chagar até a superfície da terra, depois a energia cinética para ele “escapar” a partir da superfície.

E i = E f

W + m v e 2 2 = m u e 2 2

Do item anterior:

W = m g R T 2

Não esquece: v e = 2 G M T R T

Logo,

m g R T 2 + m 2 ⋅ 2 G M T R T = m u e 2 2

Isolando u e :

u e = g R T + 2 G M T R T

Como g = G M T R T 2 :

u e = 3 g R T

Resposta

  1. W = m g R T 2
  2. v = g R T
  3. u e = 3 g R T
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