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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 94

Duas partículas, de massas m 1 e m 2 , são largadas do repouso quando afastadas de uma grande distância. Determine seus respectivos valores de rapidez v 1 e v 2 quando a distância que separa é r . É informado que o afastamento inicial é grande, mas grande é um termo relativo. O afastamento é grande em relação a qual distância?

Passo 1

O afastamento é grande em relação ao tamanho das partículas, logo podemos considere-las pontuais ao longo de nosso desenvolvimento. Pra começar, podemos conservar energia.

E i = E f

0 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 - G m 1 m 2 r

Passo 2

Agora precisamos de mais uma equação relacionando as velocidades. conservando a quantidade de movimento, temos:

P i = P f

0 = m 1 v 1 + m 2 v 2

Isolando v 2 :

v 2 = - m 1 m 2 v 1

Agora vamos usar esse v 2 na equação de energia.

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 = G m 1 m 2 r

Logo,

m 1 v 1 2 2 + m 2 ⋅ - m 1 m 2 v 1 2 2 = G m 1 m 2 r

Colocando v 1 em evidencia:

v 1 2 m 1 2 + m 1 2 2 m 2 = G m 1 m 2 r

Simplificando o m 1 e isolando v 1 , temos:

v 1 = 2 G m 2 2 r m 1 + m 2

Passo 3

Como já temos o v 1 é só usar relação da quantidade de movimento para achar v 2 .

v 2 = - m 1 m 2 v 1

Logo,

v 2 = - m 1 m 2 2 G m 2 2 r m 1 + m 2 = - 2 G m 1 2 r m 1 + m 2

Resposta

v 1 = 2 G m 2 2 r m 1 + m 2

v 2 = - 2 G m 1 2 r m 1 + m 2

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