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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 81

Um furo de pequeno diâmetro é perfurado na esfera do problema 80, em direção ao seu centro, até uma profundidade de 2,0   m abaixo da superfície da esfera. Uma pequena massa é largada, de sua superfície, dentro do fruo. Determine a rapidez desta pequena massa quando lea atinge o fundo do furo.

Passo 1

Os dados do problem 80 são os seguintes: A massa especifica de uma esfera é dada por ρ r = C / r . A esfera tem um raio de 5,0   m e uma massa de 1,0 × 10 11   k g .

(a) Como estamos trabalhando com uma esfera, vamos fazer o seguinte:

d m = ρ d V

Essa expressão acima é tipo ρ = m / V , mas na forma diferencial. Como temos uma esfera:

d V = 4 3 π r 3 ' = 4 π r 2 d r

d m = ρ 4 π r 2 d r

Como ρ r = C / r :

d m = 4 π C r r 2 d r = 4 π C r d r

Integrando, temos:

m = 4 π C ⋅ ∫ 0 5 r d r = 4 π C ⋅ r 2 2 | 0 5 = 4 π C ⋅ 25 2 - 0 = π C ( 50   m 2 )

Como m = 1,0 × 10 11   k g :

C = 1,0 × 10 11   k g 50   m 2 π = 6,4 × 10 8   k g / m 2

Passo 2

Para a região interna da esfera temos que ir com mais cuidado, pois a massa dentro da esfera não é distribuída uniformemente.

g = G M r 2

Vamos calcular o M :

d m = ρ d V

Logo,

d m = C r ⋅ 4 π r 2 d r = 4 π C r d r

Integrando do centro até a borda:

M = 4 π C ⋅ ∫ 0 r r d r = 4 π C r 2 2 = 2 π C r 2

Agora vamos voltar para a expressão do campo.

g = G M r 2 = G ⋅ 2 π C r 2 r 2 = 2 π G C

Substituindo e fazendo as contas:

g = 2 π 6,672 × 10 - 11   N ⋅ m 2 k g 2 ⋅ 6,4 × 10 8 k g m 2 = 0,27   N / k g

Nosso resultado é bem interessante, pois nos diz que o campo é constante dentro da esfera!

Passo 3

Pra finalizar, vamos conservar energia para encontrar a velocidade final. A nossa pequena massa sofrerá o campo g = 0,27   N / k g .

Δ E c = W F r e s u l t a n t e

m v f 2 2 - m v i 2 2 = m g h

Velocidade inicial nula, então:

m v f 2 2 = m g h → v f = 2 g h

Fazendo as contas:

v f = 2 ⋅ 0,27 N k g ⋅ 2,0   m ≅ 1,03   m / s

Resposta

  1. v f ≅ 1,03   m / s
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