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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 82

Como geólogo de uma companhia de mineração, você esta trabalhando em um método de determinação de possíveis locais de depósitos minerais subterrâneos. Suponha que a crosta da Terra tenha a espessura de 40,0   k m e a massa específica de cerca de 3000   k g / m 3 , onde a campanhia possui suas terras. Suponha que um depósito esférico de metais pesados, com uma massa específica de 8000   k g / m 3 e um raio de 1000   m esteja centrado 2000   m abaixo da superfície. Você propõe detectá-lo determinando seu efeito sobre o valor local de g na superfície. Determine Δ g / g   na superfície, diretamente acima deste depósito, onde Δ g é o aumento do campo gravitacional devido ao depósito.

Passo 1

Como estamos querendo detectar um aumento da gravidade na superfície devido a influência de metais pesados, vamos fazer o seguinte:

Δ g = G r 2 Δ M

Esse diferença tem que ser devido a massa pois G e r são constante.

Passo 2

Agora vamos relacionar o Δ M com a massa específica, pois o enunciado nos disse a da Terra e a de metais pesados.

Δ M = Δ ρ V

Isto é,

Δ M = Δ ρ 4 3 π R 3 = 4 3 π R 3 Δ ρ

Passo 3

Como queremos Δ g / g :

Δ g g = G r 2 Δ M g

Usando Δ M encontrado no passo 2:

Δ g g = G r 2 ⋅ ( 4 3 π R 3 Δ ρ ) g = 4 3 π ⋅ G R 3 Δ ρ r 2 g

Para o Δ ρ :

Δ ρ = ρ m e t a i s - ρ T e r r a = 8000 k g m 3 - 3000 k g m 3   = 5000 k g m 3

Se liga: Como estamos medindo a variação devido aos metais pesado, então r = 2000   m

Agora fazer as contas.

Δ g g = 4 3 π ( 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 ) 1000   m 3 ⋅ 5000 k g m 3 2000   m 2 ⋅ ( 9,81 N k g ) = 3,56 × 10 - 5

Resposta

Δ g g = 3,56 × 10 - 5

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