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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 16.7 - Ex. 57

Um gerador em uma das extremidades de uma corda muito longa, produz uma onda dada por

y = 6,0 c m cos ⁡ [ π 2 2,00 m - 1 x + 8,00   s - 1 t ]

E um gerador na outra extremidade produz a onda

y = 6,0 c m cos [ ⁡ π 2 2,00 m - 1 x - 8,00   s - 1 t ]

Calcule (a) a frequência, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de cada onda. Para x ≥ 0 qual é a posição do nó com (d) o menor, (e) o segundo menor e (f) o terceiro menor valor de x? Para x ≥ 0 O, qual é a posição do antinó com (g) o menor, (h) o segundo menor e (i) o terceiro menor valor de x ?

Passo 1

(a)A freqüência angular a gente consegue calcular diretamente das equações das ondas dadas no enunciado, sabendo que o velor que multiplica t é igual a ω = 8,00 π 2 s - 1 . Então, temos que

f = ω 2 π = 8,00 s - 1 π 2 2 π = 2   H z

Passo 2

(b)Lembra do número de onda? Ele é igual a k = 2 π λ e é ele quem multiplica x na equação das ondas que se superpõem. Então, a gente consegue encontrar λ assim:

k = 2 π 2 = π = 2 π λ  

λ = 2,00   m

Passo 3

(c)A velocidade a gente encontra pela famosa relação: v = λ f = 2,00 m × 2 H z = 4   m / s

Passo 4

(d)Pra acharmos as posições dos nós, a gente vai ter que achar primeiro a equação da onda estacionária resultante somando as equações das ondinhas dadas no enunciado. Considerando y m = 6,0   c m , k = 2 π 2   m - 1 e ω = 8,00 s - 1 π 2 :

y r e s = y m cos ⁡ [ k x + ω t ] + y m cos ⁡ [ k x - ω t ]

y r e s = y m [ cos ⁡ k x + ω t + cos ⁡ k x - ω t ]

y r e s = 2 y m cos ⁡ k x c o s ⁡ ( ω t )

Olha! Os valores de x onde y r e s = 0 são aqueles em que

cos ⁡ k x = 0

Ou seja:

k x = π 2 × 2 n + 1

Em que n é um número natural qualquer. Então:

x = π 2 k , 3 π 2 k , 5 π 2 k , 7 π 2 k … ( m )

O menor valor é aquele em que

x = π 2 k = π 2 π = 0,5   m

Passo 5

(e)Dos valores mostrados acima, olhe para o segundo. Ele é igual a x = 3 π 2 k = 3 2 = 1,5   m

Passo 6

(f) O terceiro valor é igual a x = 5 π 2 k = 5 2 = 2,5   m

Passo 7

(g) Os antinós são aqueles em que a posição y r e s é máxima. Eles acontecem quando cos ⁡ k x = ±   1 , ou seja k x = n π , com n sendo um número inteiro. O menor deles acontece quando n = 0 , ou seja, x = 0   m

Passo 8

(h)O segundo menor valor acontece quando n = 1 , ou seja, x = π k = 1,00   m

Passo 9

(i)Finalmente, o terceiro menor ocorre quando n = 2 , ou seja:

x = 2 π k = 2,00   m

Resposta

(a) 2   H z

(b) 2,00   m

(c) 4,00   m / s

(d) x = 0,500 m

(e) x = 1,50   m

(f) x = 2,50   m

(g) x = 0   m

(h) x = 1,00 m

(i) x = 2,00   m

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