Geralmente desprezamos a energia cinética das espirais de uma mola, porém agora vamos tentar obter uma aproximação razoável sem desprezar esse fator. Seja M a massa da mola, L 0 seu comprimento normal antes da deformação e k a constante de força da mola. O trabalho realizado para esticar ou comprimir a mola a uma distância L é dado por 1 2 k X 2 , onde X = L - L 0 . Considere a mola descrita anteriormente e suponha que uma de suas extremidades esteja fixa e a outra se mova com velocidade v . Suponha que a velocidade ao longo da mola varie linearmente com a distância l da extremidade fixa. Suponha também que a massa M seja uniformemente distribuída ao longo da mola. (a) Calcule a energia cinética da mola em função de M e de v . (Dica: divida a mola em segmentos de comprimento d l ; calcule a velocidade de cada segmento em função de l , de v e de L ; ache a massa de cada segmento em função de d l , de M e de L ; a seguir, integre de 0 a L . O resultado não será igual a 1 2 M v 2 , porque as partes da mola não se movem com a mesma velocidade.) Em uma espingarda de mola, a mola possui massa igual a 0,243k g e a constante da mola é igual a 3200N / m ; ela é comprimida 2,50c m a partir de seu comprimento sem deformação. Quando o gatilho é puxado, a mola exerce uma força horizontal sobre uma bala de massa 0,053k g kg. Despreze o trabalho realizado pelo atrito. Calcule a velocidade da bala quando a mola atinge seu comprimento sem deformação (b) desprezando a massa da mola; (c) incluindo a massa da mola usando o resultado do item (a). (d) No item (c), qual é a energia cinética da bala e a energia cinética da mola?

K = 1 6 M v 2 v b = 6,14m / s v c = 3,86m / s K b a l a = 0,395J K m o l a = 0,603J

Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 93

Geralmente desprezamos a energia cinética das espirais de uma mola, porém agora vamos tentar obter uma aproximação razoável sem desprezar esse fator. Seja a massa da mola, seu comprimento normal antes da deformação e a constante de força da mola. O trabalho realizado para esticar ou comprimir a mola a uma distância é dado por , onde . Considere a mola descrita anteriormente e suponha que uma de suas extremidades esteja fixa e a outra se mova com velocidade . Suponha que a velocidade ao longo da mola varie linearmente com a distância da extremidade fixa. Suponha também que a massa seja uniformemente distribuída ao longo da mola. (a) Calcule a energia cinética da mola em função de e de . (Dica: divida a mola em segmentos de comprimento ; calcule a velocidade de cada segmento em função de , de e de ; ache a massa de cada segmento em função de , de e de ; a seguir, integre de a . O resultado não será igual a , porque as partes da mola não se movem com a mesma velocidade.)

Em uma espingarda de mola, a mola possui massa igual a e a constante da mola é igual a ; ela é comprimida a partir de seu comprimento sem deformação. Quando o gatilho é puxado, a mola exerce uma força horizontal sobre uma bala de massa kg. Despreze o trabalho realizado pelo atrito. Calcule a velocidade da bala quando a mola atinge seu comprimento sem deformação (b) desprezando a massa da mola; (c) incluindo a massa da mola usando o resultado do item (a). (d) No item (c), qual é a energia cinética da bala e a energia cinética da mola?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O exercício disse que a velocidade ao longo da mola varia linearmente com a distância até a extremidade fixa. Com isso, podemos escrever uma função do tipo

Sabemos que para devemos ter , de modo que

Portanto, a expressão da velocidade em função de é

Passo 2

Agora vamos considerar uma porção infinitesimal de mola cuja massa é

Nessa relação, é a densidade linear de massa da mola. Como a distribuição de massa é uniforme, temos que

Logo,

Com isso, podemos escrever a energia cinética infinitesimal dessa porção de mola:

Portanto,

Para achar a energia cinética total da mola basta integrar:

Portanto,

Passo 3

Agora vamos considerar a situação dos itens (b) e (c). Usando o teorema trabalho-energia, podemos escrever

Como inicialmente o sistema estava em repouso, temos que

Agora vem o grande ponto da questão: no item (b) nós desprezamos a massa da mola, de modo que basta escrever

Assim,

Portanto,

Passo 4

Na situação do item (c), temos que considerar também a energia cinética da mola, de modo que

Logo,

Substituindo os valores e fazendo as contas, achamos

Com isso podemos calcular a energia cinética da bala e da mola:

Resposta

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