Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 93
Geralmente desprezamos a energia cinética das espirais de uma mola, porém agora vamos tentar obter uma aproximação razoável sem desprezar esse fator. Seja a massa da mola, seu comprimento normal antes da deformação e a constante de força da mola. O trabalho realizado para esticar ou comprimir a mola a uma distância é dado por , onde . Considere a mola descrita anteriormente e suponha que uma de suas extremidades esteja fixa e a outra se mova com velocidade . Suponha que a velocidade ao longo da mola varie linearmente com a distância da extremidade fixa. Suponha também que a massa seja uniformemente distribuída ao longo da mola. (a) Calcule a energia cinética da mola em função de e de . (Dica: divida a mola em segmentos de comprimento ; calcule a velocidade de cada segmento em função de , de e de ; ache a massa de cada segmento em função de , de e de ; a seguir, integre de a . O resultado não será igual a , porque as partes da mola não se movem com a mesma velocidade.)
Em uma espingarda de mola, a mola possui massa igual a e a constante da mola é igual a ; ela é comprimida a partir de seu comprimento sem deformação. Quando o gatilho é puxado, a mola exerce uma força horizontal sobre uma bala de massa kg. Despreze o trabalho realizado pelo atrito. Calcule a velocidade da bala quando a mola atinge seu comprimento sem deformação (b) desprezando a massa da mola; (c) incluindo a massa da mola usando o resultado do item (a). (d) No item (c), qual é a energia cinética da bala e a energia cinética da mola?
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
O exercício disse que a velocidade ao longo da mola varia linearmente com a distância até a extremidade fixa. Com isso, podemos escrever uma função do tipo
Sabemos que para devemos ter , de modo que
Portanto, a expressão da velocidade em função de é
Passo 2
Agora vamos considerar uma porção infinitesimal de mola cuja massa é
Nessa relação, é a densidade linear de massa da mola. Como a distribuição de massa é uniforme, temos que
Logo,
Com isso, podemos escrever a energia cinética infinitesimal dessa porção de mola:
Portanto,
Para achar a energia cinética total da mola basta integrar:
Portanto,
Passo 3
Agora vamos considerar a situação dos itens (b) e (c). Usando o teorema trabalho-energia, podemos escrever
Como inicialmente o sistema estava em repouso, temos que
Agora vem o grande ponto da questão: no item (b) nós desprezamos a massa da mola, de modo que basta escrever
Assim,
Portanto,
Passo 4
Na situação do item (c), temos que considerar também a energia cinética da mola, de modo que
Logo,
Substituindo os valores e fazendo as contas, achamos
Com isso podemos calcular a energia cinética da bala e da mola: