Gravidade em três dimensões. Uma massa m 1 é mantida no ponto de origem e outra massa m 2 está livre para percorrer uma distância r a partir de um ponto P com coordenadas x, y e z. A

energia potencial gravitacional dessas massas é dada como U r =   – G m 1 m 2 r , onde G é a constante gravitacional (veja os exercícios 7.34 e 7.35).

(a) Mostre que os componentes da força que atua sobre m 2 em função de m 1 são (Sugestão: escreva r em termos de x, y e z).

  F x = - G m 1 m 2 x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

F y = - G m 1 m 2 y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

F z = - G m 1 m 2 z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

(b) Mostre que o módulo da força que atua sobre m 2 é F = G m 1 m 2 r 2 .

(c) m 1 atrai ou repele m 2 ? Como você sabe?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Nesta atividade temos uma massa fixa na origem do plano x y z e uma outra que pode percorrer uma distancia r a partir de um ponto P em qualquer direção.

Passo 2

Aplicaremos F x = - ∂ U ∂ x , F y = - ∂ U ∂ y   e F z = - ∂ U ∂ z .

Primeiro, nós obteremos a distância r em função de x , y , z .

r = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2

Para obter as forças dos componentes, devemos usar a tabela de derivadas. A partir disso, temos:

∂ ( 1 r ) ∂ x = - x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

∂ ( 1 r ) ∂ y = - y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

∂ ( 1 r ) ∂ z = - z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Para o item (a), devemos mostrar que os componentes da força que atua sobre m 2 em função de m 1 são as fun��ões apresentadas, então se U r =   – G m 1 m 2 r , basta derivar o U em função de r. Da seguinte forma

- ∂ U ∂ x   – G m 1 m 2 r = ( G m 1 m 2 ) ( - ∂ 1 r ∂ x )

F x = - G m 1 m 2 x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

O mesmo serve para F y e F z .

Passo 3

Para o item (b), devemos mostrar que F = G m 1 m 2 r 2 . Então r 3 = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 . Em m 2 temos o somatório de todas as forças atuando, logo,

F = F x 2 + F y 2 + F z 2

Que são equivalentes as coordenadas x , y   e   z .

Como,

F x = - G m 1 m 2 x r 3 , F y = - G m 1 m 2 y r 3 e F z = - G m 1 m 2 z r 3

F = - G m 1 ∙ m 2 x x 2 + y 2 + z 2 3 2 2 + - G m 1 ∙ m 2 y x 2 + y 2 + z 2 3 2 2 + - G m 1 ∙ m 2 z x 2 + y 2 + z 2 3 2 2

F = - G ∙ m 1 ∙ m 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 x 2 + y 2 + z 2

Mas sabemos que:

x 2 + y 2 + z 2 = r

F = - G ∙ m 1 ∙ m 2 r 2

Passo 4

Para sabermos se m1 atrai ou repele m2, vamos analisar as forças. Sabemos que F x ,   F y   e   F z são negativas. Atribuímos uma constante para tornar a força positiva.

A força F e o vetor r de m 1   a   m 2 , estão na mesma direção, portanto, F se localiza na origem em m 1 e é atrativa.

Resposta

a)   F x = - G m 1 m 2 x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

F y = - G m 1 m 2 y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

F z = - G m 1 m 2 z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

b)   r 3 = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 e em m 2 temos o somatório de todas as forças atuando.

c) F se localiza na origem em m 1 e é atrativa.

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