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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 91

Jack e Jill estão em pé sobre um engradado em repouso sobre a superfície horizontal sem atrito de um lago gelado. A massa de Jack é igual a 75,0 kg, Jill possui massa de 45,0 kg e o engradado possui massa de 15,0 kg. Eles se lembram de que deveriam pegar um balde de água e pulam horizontalmente para fora do engradado. Em cada pulo, cada pessoa se afasta do engradado com velocidade de 4,0 m/s em relação ao engradado. a) Qual é a velocidade final do engradado, se Jack e Jill pulam simultaneamente na mesma direção e no mesmo sentido? (Sugestão: Use um sistema de referência inercial fixo no solo.) b) Qual é a velocidade final do engradado se Jack pula primeiro e, alguns segundos depois Jill pula na mesma direção e no mesmo sentido? c) Qual é a velocidade final do engradado se Jill pula primeiro e alguns segundos depois Jack pula na mesma direção e no mesmo sentido?

Passo 1

O enunciado nos dá uma situação de duas pessoas em cima de um engradado que está em cima de uma superfície sem atrito, que pulam numa mesma direção de diferentes formas. Para resolver a questão iremos usar conservação de momento de diferentes formas para cada caso especificado pelas alternativas.

Passo 2

  1. Inicialmente, vamos estabelecer que Jack será nosso objeto A, Jill será B e o engradado será C. Dessa forma, temos que v c f será uma velocidade negativa, sendo assim v c f = - v . As velocidades v a x e v b x são velocidades relativas ao engradado. Logo, referente ao nosso referencial no solo, as velocidades serão dadas pelas relações de velocidade relativa. Assim, v a x = 4.0   m / s - v e v b x = 4.0   m / s - v .

    2. Utilizando agora a relação de momento, temos que inicialmente todos estão parados, logo P i = 0 , assim:

    P i = P f

    0 = m a ⋅ v a x + m b ⋅ v b x + m c ⋅ v c x

    75   k g ⋅ 4.0   m / s - v + 45   k g ⋅ 4.0   m / s - v + 15   k g ⋅ - v = 0

    v = 75.0   k g + 45.0   k g ⋅ 4.00 m / s ( 75.0   k g + 45.0   k g +   15.0   k g )     = 3.56 m / s

    Passo 3

  2. Utilizando a mesma ideia e mesma relação, porém agora faremos separadamente: calcularemos primeiro a velocidade do engradado depois de A pular e depois de B pular. Vamos chamar a velocidade final do engradado após A pular de v ' e depois de B de v f ' .

    3. P i = P f

    0 = m a ⋅ v a x + ( m c + m b ) ⋅ v c x

    75   k g ⋅ 4.0   m / s - v ' + 15   k g + 45   k g ⋅ - v ' = 0

    v ' = 300   k g ⋅ m / s 135   k g = 2.22   m / s

    Agora para quando B pula, temos que o engradado já terá uma velocidade inicial, portanto P i não será zero. Assim:

    P f = P f '

    m b + m c ⋅ v ' = m b ⋅ v b x + m c ⋅ v c x

    15   k g + 45   k g ⋅ 2.22   m / s = 45   k g ⋅ 4.0   m / s - v f ' + 15   k g ⋅ ( - v f ' )

    v f ' = 45.0   k g ⋅ 4.00 m / s + 60.0   k g ⋅ 2.22   m / s 60.0   k g = 5.22   m / s

    Passo 4

  3. Para responder a última alternativa temos apenas que mudar a ordem dos acontecimentos. Assim:

P i = P f

0 = m b ⋅ v b x + ( m c + m a ) ⋅ v c x

45   k g ⋅ 4.0   m / s - v ' + 15   k g + 75   k g ⋅ - v ' = 0

v ' = 180   k g ⋅ m / s 135   k g = 1.33   m / s

P f = P f '

m a + m c ⋅ v ' = m a ⋅ v b x + m c ⋅ v c x

15   k g + 75   k g ⋅ 2.22   m / s = 75   k g ⋅ 4.0   m / s - v f ' + 15   k g ⋅ ( - v f ' )

v f ' = 75.0   k g ⋅ 4.00 m / s + 90.0   k g ⋅ 1.33   m / s 90.0   k g = 4.66   m / s

Resposta

a) 3.56 m / s

b) 5.22   m / s

c) 4.66   m / s

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