Uma lente esférica plano-convexa delgada é formada por um meio onde o som se propaga com velocidade v 2 , limitado por uma face plana e outra esférica de raio de curvatura R ; o raio h = I ' A - da face placa (figura) é suposto ≪ R . No meio externo à lente, o som se propaga com velocidade v 1 , com v 2 = v 1 / n , onde n é o índice de refração relativo. Supomos n1 . Nestas condições, uma onda plana incidente perpendicularmente sobre a face place é focalizada pela lente em seu foco F . A distância f = O F - do foco à face curva chama-se distância focal, e A O - = e é a espessura da lente. (a) Mostre que para h ≪ R tem-se e ≈ h 2 / ( 2 R ) . Para isso, você poderá utilizar a aproximação: 1 ± ε ≈ 1 ± 1 2 ε , válida para ε ≪ 1 . (b) Com o auxílio do Princípio de Huygens, mostre que f = R / ( n - 1 ) . Sugestão: Partindo da frente de onda plana incidente II’ (Figura). Iguale o tempo que as frentes de onda secundárias levam para convergir no foco passando pela periferia da lente (caminhos I ' F - , I F - ) e pelo centro (caminho A O - + O F - ) e use o resultado da parte (a).

Enunciado

(a) Esse primeiro item parece muito complicado, mas na verdade só precisamos de um pouco de geometria plana:

Pelo teorema de pitágoras:

E agora vamos usar a aproximação sugerida pelo enunciado, já que :

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

(b) Aqui podemos economizar bastante tempo utilizando a seguinte equação:

Onde são os índices de refração dentro e fora da lente, respectivamente, e e são os raios de curvatura de cada face.

No nosso caso, o índice de regração fora da lente é , já que estamos no ar, e o índice de refração dentro é simplesmente .

Para a face plano, consideramos que o raio de curvatura é infinito, então:

E o raio de curvatura da outra face é :

Ou seja:

Conforme queríamos demonstrar.

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.