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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 28

Às 8h da manhã, um navio sai do porto de ilhéus, rumando para 45° SO, à velocidade de 16 nós(1 nó= 1 milha marítma/h = 1.852 m/h). À mesma hora, outro navio está a 45° NO de ilhéus, a 40 milhas marítimas de distância, rumando em direção a ilhéus, a uma velocidade de 12 nós. A que hora os dois navios passam à distância mínima um do outro? Qual é essa distância?

Passo 1

Beleza meus consagrados? vamos praticar um pouco de cinemática vetorial, hehe.

Para começar vamos anotar os dados do problema e esclarecer o que está se passando.

O navio 2 está indo em direção ao porto de um ponto inicial que está acima e à esquerda do porto. Já o navio 1 está saindo do porto pra baixo e pra direita! Olha como fica então :

  • r ⃑ 2 i = 40   - c o s 45   i ^ + s e n 45   j ^       (Como a distância é de 40 milhas à noroeste, vamos decompor na compontente que está no x indo pra lá ← e no y pra cá ↑ )

  • r ⃑ 1 i = 0   ( Vamos deixar o porto na origem, fechou?)

  • v ⃑ 2 = 12 c o s 45   i ^ - s e n 45   j ^     ( velocidade apontando pra origem, tranks? )

  • v ⃑ 1 = 16   (   - c o s 45   i ^ - s e n 45   j ^ )

Passo 2

Precisamos calcular a distância entre os 2 navios, pra isso vamos subtrair os vetores deslocamento dos navios, mas como são esses vetores? Vem comigo.

r ⃑ 2 ( t ) = r ⃑ 2 i + v ⃑ 2 t

r ⃑ 2 = 40   - c o s 45   i ^ + s e n 45   j ^   + 12 c o s 45   i ^ - s e n 45   j ^ t

Como s e n 45 = cos ⁡ 45 = 1 2 vamos colocar em evidência.

r ⃑ 2 ( t ) = 1 2 [   ( - 40 + 12 t )   i ^ + 40 - 12 t j ^   ]

Fazendo o mesmo para o navio 1

r ⃑ 1 ( t ) = 1 2 [   ( - 16 t )   i ^ + - 16 t j ^   ]

Como a distância D ⃑ equivale a   Δ r ⃑ = r ⃑ 2 - r ⃑ 1 , fica assim

  D ⃑ = 1 2 [   ( - 40 + 28 t )   i ^ + 40 + 4 t   j ^   ]  

Passo 3

Show, como já temos nosso vetor, só precisamos deixar seu módulo o menor possível escolhendo o tempo certo. Bora analisar ‖ D ⃑ 2 ‖ pra facilitar nossas contas!

D ⃑ 2 = D x 2 + D y 2

= 1 2   - 40 + 28 t 2 + 40 + 4 t 2  

= 1 2     1600 - 2240 t + 784 t 2 + 1600 + 320 t + 16 t 2  

= 1600 - 960 t + 400 t 2

Beleza moçada, agora é só achar o t   que minimiza nossa função ! Vamos derivar e igualar a 0 que é sucesso.

800 t - 960 = 0 → t = 960 800 = 1,2   h = 1 h   12 m i n

Como os navios partem às 8h, então o horário da distância mínima é 9 h   12 m i n

Legal, pra achar nossa distância mínima ao quadrado vamo substituir na fórmula

D ⃑ 2 = 1600 - 960 .   1,2   + 400   . 1,2 2 =   1024

Então nossa distância mínima D é igual a 1024 = 32 milhas marítimas.

Resposta

9 h 12 m i n

32   m i l h a s   m a r í t m a s

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