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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 56

56. Uma massa de 2,20   k g oscila em uma mola de constante igual a 250,0   N / m com um período de 0,650   s . ( a ) Esse sistema é amortecido ou não? Como você sabe disso? Se for amortecido, encontre a constante de amortecimento b . ( b ) Esse sistema é não amortecido, subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido? Como você sabe que é assim?

Passo 1

Para saber se esse sistema é amortecido ou não, vamos usar a frequência angular ao nosso favor, mas por quê?

Porque a frequência angular para um sistema não amortecido pode ser determinada a parti da seguinte fórmula:

ω = k m

Então a parti do momento que você tem uma certa constante elástica e uma massa sua frequência angular já é bem definida.

Já no movimento amortecido temos uma frequência angular menor do que teríamos se não fosse o amortecimento, nesse caso a frequência é dada por:

ω ' = k m - b 2 4 m 2

Como pode ser visto no argumento da raiz quadrada temos um fator a mais subtraindo, assim:

k m > k m - b 2 4 m 2

⇒ ω > ω '

E é assim que saberemos se o movimento é amortecido ou não, comparando os ômegas, o ômega para o caso não amortecido é fácil de achar com a fórmula, agora o ω ' podemos usar uma fórmula que já vimos antes, que é:

ω ' = 2 π T '

Vamos calcular as duas frequências para mesma situação do enunciado, se eles derem igual, temos um movimento não amortecido se derem diferentes temos um movimento amortecido.

Para achar a constante b , basta isolá-la na fórmula mostrada acima para a frequência angular amortecida, caso o movimento seja amortecido.

Caso o movimento seja amortecido, para diferenciá-lo e saber se ele é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido, basta olhar o valor de b se

b < 2 k m

Temos subamortecimento, se

b = 2 k m

Temos amortecimento crítico e se

b > 2 k m

Temos superamortecimento.

Passo 2

Primeiro vamos ver se ele é amortecido ou não, vamos calcular ω e ω ' , temos:

ω = k m

⇒ ω = 250 2,2

= 10,66   r a d / s

E

ω ' = 2 π T

⇒ ω ' = 2 π 0,615

= 10,21   r a d / s

Então encontramos que:

ω > ω '

Então o movimento é amortecido.

Passo 3

Agora vamos achar a constante de amortecimento, temos o seguinte:

ω ' = k m - b 2 4 m 2

Vamos isolar o b .

ω ' 2 = k m - b 2 4 m 2

⇒ b 2 4 m 2 = k m - ω ' 2

⇒ b 2 4 = k m - m 2 ω ' 2

Então:

b 2 = 4 k m - 4 m 2 ω ' 2

⇒ b = 4 k m - 4 m 2 ω ' 2

Agora substituindo os valores que nós já temos, ficamos com:

b = 4 ( 250 ) ( 2,2 ) - 4 ( 2,2 ) 2 ( 10,21 ) 2

⇒ b = 2200 - 2018,165

Temos então que:

b = 13,48   k g / s

Passo 4

Agora temos que ver qual o tipo de amortecimento temos, para isso temos que comparar com o valor de:

2 k m

Temos:

2 250 * 2,2

⇒ 46,9   k g / s

Temos que:

b = 13,48   k g / s < 46,9   k g / s

Logo o amortecimento é subamortecido.

Resposta

( a )

O sistema é amortecido e temos que b = 13,48   k g / s

( b )

O movimento é subamortecido.

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