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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 80

A massa específica de uma esfera é dada por ρ r = C / r . A esfera tem um raio de 5,0   m e uma massa de 1,0 × 10 11   k g . (a) Determine a constante C . (b) Obtenha expressões para o campo gravitacional nas regiões (1) r > 5,0   m e (2) r < 5,0   m

Passo 1

(a) Como estamos trabalhando com uma esfera, vamos fazer o seguinte:

d m = ρ d V

Essa expressão acima é tipo ρ = m / V , mas na forma diferencial. Como temos uma esfera:

d V = 4 3 π r 3 ' = 4 π r 2 d r

d m = ρ 4 π r 2 d r

Como ρ r = C / r :

d m = 4 π C r r 2 d r = 4 π C r d r

Integrando, temos:

m = 4 π C ⋅ ∫ 0 5 r d r = 4 π C ⋅ r 2 2 | 0 5 = 4 π C ⋅ 25 2 - 0 = π C ( 50   m 2 )

Como m = 1,0 × 10 11   k g :

C = 1,0 × 10 11   k g 50   m 2 π = 6,4 × 10 8   k g / m 2

Passo 2

(b) Nesse item vamos usar a definição de campo gravitacional.

g = G M r 2

Cuidado: esse r representa a distancia do centro ao ponto em que queremos saber g e não o raio da esfera.

Para r > 5,0   m :

g = G M r 2 = 6,672 × 10 - 11   N ⋅ m 2 k g 2 ⋅ 1,0 × 10 11   k g r 2 = 6,7 N k g r 2  

Passo 3

Para a região 2 temos que ir com mais cuidado, pois a massa dentro da esfera não é distribuída uniformemente.

g = G M r 2

Vamos calcular o M :

d m = ρ d V

Logo,

d m = C r ⋅ 4 π r 2 d r = 4 π C r d r

Integrando do centro até a borda:

M = 4 π C ⋅ ∫ 0 r r d r = 4 π C r 2 2 = 2 π C r 2

Agora vamos voltar para a expressão do campo.

g = G M r 2 = G ⋅ 2 π C r 2 r 2 = 2 π G C

Substituindo e fazendo as contas:

g = 2 π 6,672 × 10 - 11   N ⋅ m 2 k g 2 ⋅ 6,4 × 10 8 k g m 2 = 0,27   N / k g

Nosso resultado é bem interessante, pois nos diz que o campo é constante dentro da esfera!

Resposta

  1. C = 6,4 × 10 8   k g / m 2
  2. g = 0,27   N / k g
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