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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 77

Morcegos-ferradura (do gênero Rhinolophus) emitem sons através de suas narinas e depois escutam a frequência do som refletido pela sua presa para determinar a velocidade dela. (O termo ‘ferradura’ dado a esse morcego decorre de uma reentrância em forma de ferradura existente em torno de suas narinas que desempenha o papel de um espelho que focaliza o som, de modo que o morcego emite um feixe muito estreito de ondas sonoras semelhante ao feixe luminoso de uma lanterna.) Um Rhinolophus se deslocando com uma velocidade v m o r emite um som com frequência f m o r ; ele ouve o som refletido por um inseto que se aproxima com uma frequência mais elevada igual a f r e f . a) Mostre que a velocidade do inseto é dada por

v i n s e t o = v f m o r v + v m o r - f r e f ( v - v m o r ) f r e f ( v - v m o r ) - f m o r v + v m o r

Onde v   é a velocidade do som. b) Ser f m o r = 80,7   k H z , f r e f = 83,5   k H z e v m o r = 3,9   m / s , calcule a velocidade do inseto.

Passo 1

a) O inseto se aproxima do morcego e o morcego do inseto, a onda emitida pelo morcego sofre efeito Doppler por conta do movimento dos dois. A equação do efeito Doppler:

f m o r = f i v + v i v + v m o r

Fica, nesse caso, assim:

f i = f m o r v + v m o r v - v i

O sinal negativo do denominador é porque o inseto, que é o ouvinte, se aproxima do morcego. E o sinal fica positivo no numerador porque o morcego está se aproximando do inseto.

Passo 2

Depois que a onda bate no inseto e volta no morcego, a fonte passa a ser o inseto e o ouvinte, o morcego, aplicando a equação do efeito Doppler para esse segundo caso:

f r e f = f i v + v i v - v m o r

Os sinais permanecem os mesmos, negativo embaixo e positivo em cima, apesar das variáveis mudarem. E a justificativa é a mesma.

Passo 3

Substituindo a equação do Passo 1 na do Passo 2:

f r e f = f m o r v + v m o r v - v i v + v i v - v m o r

Depois isolamos v i que é a velocidade que o enunciado está pedindo:

v - v i f r e f - f m o r ( v + v i ) v + v m o r v - v m o r = 0

v f r e f - v i f r e f - v f m o r v + v m o r v - v m o r - v i f m o r v + v m o r v - v m o r = 0

v i f m o r v + v m o r v - v m o r - f r e f = v f r e f - f m o r v + v m o r v - v m o r

v i = v f m o r v + v m o r v - v m o r - f r e f f r e f - f m o r v + v m o r v - v m o r

v i = v f m o r v + v m o r - f r e f ( v - v m o r ) f r e f ( v - v m o r ) - f m o r v + v m o r

Passo 4

b) Agora a gente só substitui os valores dados e velocidade do som no ar v = 344   m / s para encontrar a velocidade do inseto:

v i = ( 344   m / s ) ( 80,0 × 10 3   H z ) 344   m / s + 3,9   m / s - ( 8 3 , 5 × 10 3   H z ) ( 344   m / s - 3,9   m / s ) ( 8 3 , 5 × 10 3   H z ) ( 344   m / s - 3,9   m / s ) - ( 80,0 × 10 3   H z ) 344   m / s + 3,9   m / s

v i = 2,0   m / s

Resposta

v i = 2,0   m / s

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