Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 4
(a) Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de ondas numa corda, que a variação percentual de velocidade produzida por uma variação da tensão na corda é dada por . (b) Um afinador de pianos faz soar a nota lá de um diapasão, de frequência , para compará-la com a nota lá da escala média de um piano. Com ambas soando simultaneamente, ele ouve batimentos cuja intensidade máxima se repete a intervalos de . Que ajuste percentual ele deve fazer na tensão da corda do piano para afiná-la?
Passo 1
(a) A velocidade de propagação da onda no fio segue a seguinte fórmula:
Para descobrir o que acontece quando a tensão sobre uma pequena variação, vamos derivar a expressão em relação à tensão:
Podemos aproximar essa derivada como uma razão:
Ou seja:
Para chegar na expressão que o enunciado pediu, vamos dividir os dois lados por :
E substituindo , ficamos com:
Que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Passo 2
(b) Agora nós temos uma situação em que duas ondas estão interagindo para produzir batimentos.
Se as intensidades dos batimentos se repetem a cada , então:
Esse é o período dos batimentos. A partir disso podemos calcular a frequência:
A frequência dos batimentos é a diferença de frequência das duas ondas em questão. É essa diferença que queremos corrigir ajustando apenas a tensão da corda do piano.
Passo 3
Bom, então precisamos relacionar a variação da tensão da corda piano com a frequência emitida pela corda.
Começamos relacionando a frequência com a velocidade:
Dividindo os dois lados por :
Agora vamos aproveitar a relação que encontramos no item anterior para substituir :
E a fração do lado esquerdo é a “diferença percentual na tensão” que queremos calcular. Vamos substituir os valores numéricos:
Resposta
(a) Demonstração.
(b) O ajuste percentual necessário é de .