Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 77
Mostre que a razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas é constante para um oscilador linearmente amortecido.
Passo 1
Ele pede para a gente mostrar que a razão entre duas amplitudes consecutivas é constante para um oscilador linearmente amortecido.
Se a gente quer a razão entre amplitudes em dois momentos, é legal ter a expressão da amplitude em função de para um oscilador linearmente amortecido.
Pesquisando no livro (ou no seu caderno), vemos que a fórmula que dá a amplitude das oscilações em função do tempo é a seguinte:
Onde é a constante de tempo. Sendo a massa e a constante de amortecimento que é uma propriedade do movimento.
Se a amplitude de certa oscilação é dada por , então a amplitude da oscilação seguinte acontece depois que passa o tempo de uma oscilação completa, ou seja, um período depois.
Nesse novo momento, estamos no instante e amplitude é . Então a razão que queremos calcular e provar que é constante é:
Passo 2
Temos que
Agora vamos dividir um pelo outro para encontrar :
Passo 3
E quando dividimos duas funções exponenciais, pelas propriedades de potência, o novo expoente será a diferença dos dois expoentes originais. Logo nossa razão fica
O período de uma oscilação amortecida também é constante. E o como o nome diz é a constante do tempo. Então depende apenas de constante.
Assim podemos garantir que a razão entre as amplitudes de duas oscilações consecutivas também é constante.
Resposta
A razão é constante e dada por .