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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.6 - Ex. 124

Uma viga I com 20 m está sendo erguida pelo esquema de cabos mostrado. Determine o período τ das pequenas oscilações em torno da conexão O , que se supõe permanecer fixa e em torno da qual os cabos giram livremente. Considere a viga como uma haste esbelta.

Passo 1

Para esse problema vamos usar as relações torque resultante para encontrar a equação do oscilador harmônico para pequenos ângulos θ .

Passo 2

Temos que as únicas forças que colaboram com o torque é a força peso, dada nesse problema por - m ⋅ g ⋅ l 2 . Vemos também que o momento de inércia de nossa superfície é dada na tabela D/3 e tem o valor de I o = 1 12 ⋅ m ⋅ l 2 + m ⋅ l 2 2 . Usando então a equação para torque resultante, temos que

Τ r = - m ⋅ g ⋅ l 2 ⋅ sin ⁡ θ = I o ⋅ θ ¨ = 1 12 ⋅ m ⋅ l 2 + m ⋅ l 2 2 ⋅ θ ¨

- g 2 ⋅ sin ⁡ θ = 1 12 ⋅ l ⋅ θ ¨ + l 4 ⋅ θ ¨ = 1 3 ⋅ l ⋅ θ ¨

θ ¨ + 3 ⋅ g 2 ⋅ l ⋅ sin ⁡ θ = 0

Assumindo θ pequeno, temos que sin ⁡ θ → θ . Assim:

θ ¨ + 3 ⋅ g 2 ⋅ l ⋅ θ = 0

Temos então que ω n = 3 ⋅ g 2 ⋅ l e o período é dado por τ = 2 ⋅ π ω n . Logo

τ = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ l 3 ⋅ g = 7.33   s

Resposta

τ = 7.33   s

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