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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.6 - Ex. 125

O disco circular uniforme está suspenso por uma cavidade (não mostrada) que se encaixa sobre a pequena esfera de fixação em O . Determine o período para movimentos pequenos, se o disco oscila livremente em torno (a) do eixo A - A e (b) do eixo B - B . Despreze o pequeno deslocamento, massa, e atrito da esfera.

Passo 1

Para esse problema vamos usar as relações de torque resultante e o teorema dos eixos paralelos para encontrar os momentos de inércia em cada eixo.

Passo 2

Vamos começar calculando os momentos de inércia para cada eixo. Temos que para o eixo A - A iremos calcular a integral do disco inicialmente passando pelo centro

∫ - r r x 2 ⋅ d m = 1 4 ⋅ m ⋅ r 2

Aplicando agora o teorema dos eixos paralelos, temos que

I A A = I o A + m ⋅ r 2 = 5 4 ⋅ m ⋅ r 2

Temos que a única força atuante é a peso, dada por m ⋅ g ⋅ r . Assim, temos que o torque resultante será

Τ = I A A ⋅ θ ¨

- m ⋅ g ⋅ r ⋅ sin ⁡ θ = 5 4 ⋅ m ⋅ r 2 ⋅ θ ¨

θ ¨ + 4 ⋅ g 5 ⋅ r ⋅ sin ⁡ θ = 0

Para θ pequeno, temos que sin ⁡ θ → θ . Assim

θ ¨ + 4 ⋅ g 5 ⋅ r ⋅ θ = 0

ω n = 4 ⋅ g 5 ⋅ r = 2 ⋅ g 5 ⋅ r

Passo 3

Fazendo o mesmo processo para B - B , chegaremos que I B B será

I B B = I o B + m ⋅ r 2 = 3 2 ⋅ m ⋅ r 2

Temos que a mesma força será atuante no sistema, então nossa equação para o torque ficará

- m ⋅ g ⋅ r ⋅ sin ⁡ θ = 3 2 ⋅ m ⋅ r 2 ⋅ θ ¨

θ ¨ + 2 ⋅ g 3 ⋅ r ⋅ sin ⁡ θ = 0

Para θ pequeno, temos que sin ⁡ θ → θ . Assim

θ ¨ + 2 ⋅ g 3 ⋅ r ⋅ θ = 0

ω n = 2 ⋅ g 3 ⋅ r

Resposta

  1. ω n = 2 ⋅ g 5 ⋅ r

  2. ω n = 2 ⋅ g 3 ⋅ r
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