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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 59

59. O movimento de um oscilador com subamortecimento é descrito pela Equação ( 13.42 ) . Considere um ângulo de fase ϕ igual a zero. a ) De acordo com esta equação, qual o valor de x em t = 0 ? b ) Qual é o módulo, a direção e o sentido da velocidade em t = 0 ? O que esse resultado informa sobre a inclinação do gráfico de x em função de t , nas vizinhanças de t = 0 ? c ) Obtenha uma expressão para aceleração a x para t = 0 . Para que valores ou intervalo de valores da constante de amortecimento b (em termos de k e de m ) é a aceleração para t = 0 negativa, nula ou positiva? Discuta cada caso em termos do gráfico de x em função de t nas vizinhanças de t = 0 .

Passo 1

Primeiro, vamos ver como fica a equação 13.42 , sabendo que ϕ = 0 , temos:

x = A e - ( b / 2 m ) t cos ⁡ ( ω ' t )

Para achar o que é pedido em ( a ) , basta fazer t = 0 .

Para encontrar o que é pedido em ( b ) , teremos que derivar equação acima, já que

v = d x d t

Tendo feito isso, basta substituir t = 0 na equação que encontrarmos. Se esse resultado for positivo o gráfico é crescente nesse ponto, se for negativo ele é decrescente.

Para encontrarmos a aceleração basta derivarmos a equação da posição mais uma vez, já que:

a = d v d t = d 2 x d t 2

Tendo feito isso, basta substituir t = 0 na equação que encontrarmos e analisarmos os valores de b que tornam a aceleração negativa, positiva ou nula, sabendo esses valores, saberemos se o gráfico x × t está curvado para baixo, para cima ou não está curvado.

Passo 2

Vamos lá então, vamos analisar a equação para x em t = 0 , temos:

x = A e - ( b / 2 m ) t cos ⁡ ( ω ' t )

x 0 = A e - ( b / 2 m ) 0 cos ⁡ ( ω ' 0 )

⇒ x 0 = A

Passo 3

Agora vamos derivar a equação da posição e encontrar uma para velocidade e substituir t = 0 .

Temos:

v = d x d t = A e - ( b / 2 m ) t - b 2 m cos ⁡ ω ' t - ω ' sin ⁡ ω ' t

Fazendo t = 0 , ficamos com:

v 0 = A e - ( b / 2 m ) 0 - b 2 m cos ⁡ ω ' 0 - ω ' sin ⁡ ω ' 0

⇒ v 0 = - A b 2 m

Como encontramos um resultado negativo, temos que o gráfico de x por t é decrescente nesse ponto.

Passo 4

Agora vamos derivar a equação da velocidade e encontrar uma para aceleração e substituir t = 0 .

Temos:

a = d v d t = A e - ( b / 2 m ) t b 2 4 m 2 - ω ' 2 cos ⁡ ω ' t + ω ' b 2 m sin ⁡ ω ' t

Fazendo t = 0 , ficamos com:

a 0 = A e - ( b / 2 m ) 0 b 2 4 m 2 - ω ' 2 cos ⁡ ω ' 0 + ω ' b 2 m sin ⁡ ω ' 0

⇒ a 0 = A b 2 4 m 2 - ω ' 2

Vamos fazer uma pequena substituição para nos ajudar a analisar o que o item ( c ) pede. Sabemos que:

ω ' = k m

Assim:

a 0 = A b 2 4 m 2 - k m

Passo 5

Agora vamos analisar quais valores de b fazem a ( t = 0 ) ser negativa, positiva ou nula.

Vamos começar assim:

A b 2 4 m 2 - k m = 0

Temos então:

b 2 4 m 2 - k m = 0

⇒ b 2 4 m 2 = k m

⇒ b 2 = 4 k m

Assim, temos que:

b = 2 k m

Assim sabemos que:

a ( 0 ) < 0 para b < 2 k m

a 0 = 0 para b = 2 k m

a 0 > 0 para b > 2 k m

E respectivamente temos que o gráfico x × t é curvado para baixo, não é curvado e curvado para cima.

Resposta

( a )

x 0 = A

( b )

v 0 = - A b 2 m

O gráfico de x por t é decrescente.

( c )

a 0 = A b 2 4 m 2 - k m

a ( 0 ) < 0 para b < 2 k m

a 0 = 0 para b = 2 k m

a 0 > 0 para b > 2 k m

E respectivamente temos que o gráfico x × t é curvado para baixo, não é curvado e curvado para cima.

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