Enunciado
Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 37
O movimento de uma partícula é dado por , onde está em . Em que instante a energia cinética é duas vezes maior do que a energia potencial?
Passo 1
Bom, como a questão fala sobre energia potencial e movimento harmônico simples, podemos supor que a partícula está oscilando por causa de alguma mola ou coisa do tipo. Pela equação de energia mecânica total, a gente vai ter:
Ou seja, para uma dada tensão na mola, ela vai se deslocar unidades em relação ao equilíbrio e isso produz uma energia potencial, como o sistema está em oscilação, também teremos uma velocidade associada.
Passo 2
Agora como o enunciado fala que a energia cinética precisa ser o dobro da potencial, a relação vai ser a seguinte:
Podemos então substituir na equação do Passo 1:
E como a energia mecânica total pode ser escrita em termos da amplitude das oscilações da mola:
A gente substitui de novo:
Simplificando:
E depois tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Isolando :
A amplitude está na própria equação de movimento harmônico dada no enunciado, ela está multiplicando a função cosseno:
E vai ser:
Passo 3
Agora a gente sabe a posição para a qual a energia cinética é o dobro da potencial, basta substituirmos esse valor na equação de movimento harmônico:
E encontrar :
Esse vai ser o instante.