Enunciado

44 . Uma nave espacial de massa 1,00 × 10 4   k g está em uma órbita circular numa altitude de 500   k m   acima da superfície da Terra. O controle da Missão quer acionar os motores de modo que coloque a nave em uma órbita elíptica em torno da Terra com um apogeu de 2,00 × 10 4   k m . Quanto da energia do combustível é necessário ser consumido para alcançar essa órbita? (Suponha que toda a energia do combustível aumentará a órbita. Esse modelo dará um limite inferior para a energia necessária, porque uma parte da do combustível vai se transformar em energia interna dos gases quentes de escape e peças do motor.)

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

A mudança que a nossa nave faz é igual a mostrada na figura 11.19 do livro, para sabermos quanto de energia do combustível ela gasta para fazer essa mudança, temos que fazer a diferença de energia nave espacial-Terra para a órbita circular e elíptica.

A energia nave espacial-Terra para o caso de uma órbita circular, temos:

E = - G M m 2 r

Onde r vai ser igual ao raio da Terra mais a distância da nave em relação a superfície da Terra, então:

r = 6371   k m + 500   k m = 6871   k m

Para uma órbita elíptica, temos:

E = - G M m 2 a

Onde a é o semieixo maior da órbita elíptica.

Só que não conhecemos esse a , o r podemos calcular de forma rápida somando a distância que o enunciado nos deu com o raio da Terra.

Sobre a órbita elíptica só sabemos o apogeu que é a maior distância entre a Terra e a nave, olhando a seguinte figura podemos tirar uma relação para a .

Da imagem tiramos que:

2 a = r + A

⇒ a = r + A 2

Vamos lá então!

Passo 2

A nossa energia final é a da órbita elíptica e a inicial da circular, assim:

E f - E i = - G M m 2 a - - G M m 2 r

= - G M m 2 a + G M m 2 r

= G M m - 1 2 a + 1 2 r

Substituindo com a expressão que temos para a , ficamos com:

Δ E = G M m - 1 r + A + 1 2 r

= G M m - 2 r + r + A r + A 2 r

Assim temos que:

Δ E = G M m - r + A r + A 2 r

Passo 3

A constante G é igual a 6,674 × 10 - 11   m 3 / ( k g ⋅ s 2 ) , e a massa da Terra M = 5,972 × 10 24   k g , agora vamos substituir os valores que temos na expressão que chegamos no passo anterior, lembrando que as distâncias têm que ser em m , assim:

Δ E = ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 5,972 × 10 24 ) ( 1 × 10 4 ) - 6 , 871 × 10 6 + 2 × 10 7 6,871 × 10 6 + 2 × 10 7 2 ( 6,871 × 10 6 )

= 3,98 × 10 18 1,31 × 10 7 3,69 × 10 14

Assim temos que:

Δ E = 1,41 × 10 11   J

Então essa foi a energia consumida do combustível para a nave mudar de órbita.

Resposta

Δ E = 1,41 × 10 11   J

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