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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 81

O navio A está   4,0   k m ao norte e 2,5   k m a leste do navio B . O navio A está viajando com uma velocidade de 22   k m / h na direção sul; o navio B , com uma velocidade de 40,0 km/h em uma direção 37 ° ao norte do leste. (a) Qual é a velocidade de A em relação a B em termos dos vetores unitários, com i ^ apontando para o leste? (b) Escreva uma expressão (em termos de i ^ e j ^ ) para a posição de A em relação a B em função do tempo t , tomando t = 0 como o instante

em que os dois navios estão nas posições antes descritas. (c) Em que instante a separação entre os navios é mínima? (d) Qual é a separação mínima?

Passo 1

Galera, o primeiro passo é encontrar o vetor velocidade de cada barco.

Barco A : Velocidade horizontal é zero e a velocidade vertical é - 22   k m / s .

Barco B : Velocidade horizontal é 40 . c o s 37 °   k m / h = 32 k m / h e na vertical é 40 , s e n 37 ° k m h = 24 k m / h .

Então temos que   v → a = - 22 j ^ e   v → b = 32 i ^ + 24 j ^ , ambos em k m / h .

A velocidade de A em relação a B é dada da seguinte maneira:

v → a b = v → a -   v → b = - 22 j ^ - 32 i ^ - 24 j ^

v → a b = - 3 2 i ^ - 46 j ^  

Passo 2

A posição inicial de A em relação a B foi dada na questão: 2,5   k m a leste e 4,0   k m ao norte.   r → 0 = 2,5 i ^ + 4 , 0 j ^ em k m .

Pela função horária do deslocamento podemos encontrar uma expressão para posição de a em relação a B .

r → = r → 0 + v → . t

r → = 2,5 i ^ + 4,0 j ^ + - 3 2 i ^ - 46 j ^ . t

r → = 2,5 - 32 t i ^ + ( 4,0 - 46 t ) j ^

Passo 3

A distância entre os dois é dada pelo módulo de   r → .

d 2 = r → 2 = 2,5 - 32 t 2 + 4,0 - 46 t 2

d 2 = 3140 t 2 - 528 t + 22,25

Quando d 2 for mínimo d também será, que é o vértice da parábola acima. Derivando a parábola e igualando a zero podemos encontrar o valor de t em que d é mínimo.

d d t 3140 t 2 - 528 t + 22,25 = 0

6280 t - 528 = 0 → t = 528 6280 = 0,084 h = 5 min ⁡   e   2 s

Passo 4

Já encontramos a expressão para distância, agora é só substituir o valor de t que encontramos.

d = 3140 t 2 - 528 t + 22,25

d = 3140 ( 0,084 ) 2 - 528 ( 0,084 ) + 22,25

d = 0,23   k m

Resposta

a) - 3 2 i ^ - 46 j ^  

b) r → = 2,5 - 32 t i ^ + ( 4,0 - 46 t ) j ^

c) 0,084 h

d) d = 0,23   k m

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