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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 52

Um objeto de massa m é suspenso por uma mola vertical de constante de força 1800   N / m . Quando o objeto é puxado para baixo 2.50 cm do equilíbrio e solto do repouso, o objeto oscila com frequência de 5.50 Hz. (a) encontre m (b) encontre o quanto a mola é esticada desde sua posição de equilíbrio. (c) escreva as expressões para o deslocamento x, a velocidade v x , e a aceleração a x , como funções do tempo t.

Passo 1

Bom, como sabemos a constante de força e a frequência, podemos relacionar as duas seguintes equações para respondermos a letra (a):

w 2 = k m

E

w = 2 π f

Substituindo a segunda na primeira:

2 π f 2 = k m

Isolando m:

m = k 2 π f 2 = 1800   N / m 4 π 2 ( 5.50   H z ) 2 = 1.51   k g

Passo 2

Como a mola é vertical, as forças que atuam no sistema em repouso são a gravitacional e a da mola sobre a massa. Então pela Segunda Lei de Newton:

m g - k ∆ x = 0

Isolando ∆ x :

∆ x = m g k

E agora substituindo os valores:

∆ x = 1.51   k g 9.81 m / s 2 1800   N / m = 8.21 m m

O que responde a letra (b)

Passo 3

Na letra (c), vamos começar usando a equação geral de movimento para oscilações:

x = A c o s w t + δ

Vamos considerar que a mola está presa na origem, e o objeto está no eixo - y , então x 0 = - 2.50   c m e v 0 = 0 .

Pelas equações de x 0 e v 0 :

x 0 = A c o s δ

v 0 = - w A s e n δ

Fazendo a razão entre elas, podemos obter a fase:

v 0 x 0 = - w t g δ

δ = a r c t g - v 0 w x 0 = a r c t g 0 = π

Agora obtendo w:

w = k m = 1800   N / m 1.51   k g = 34.56   r a d / s

Então podemos escrever a equação do movimento:

x = 2.50   c m c o s 34.56 r a d s t + π = - 2.50   c m c o s 34.56 r a d s t

E derivando para obtermos a velocidade:

v x = ( 86.4 c m / s ) s e n [ 34.56 r a d / s t ]

Novamente para a aceleração:

a x = ( 29.9 m / s ) c o s [ 34.56 r a d / s t ]

Resposta

a m = 1.51   k g

b ∆ x = 8.21 m m

c x = - 2.50   c m c o s 34.56 r a d s t

v x = ( 86.4 c m / s ) s e n [ 34.56 r a d / s t ]

a x = ( 29.9 m / s ) c o s [ 34.56 r a d / s t ]

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