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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 15.Exercícios - Ex. 21

Um oscilador harmônico simples no ponto x   =   0 gera uma onda em uma corda. O oscilador opera em uma frequência de 40,0   H z e com uma amplitude de 3,00   c m . A corda possui uma densidade linear de 50,0   g / m e está esticada a uma tensão de 5,00   N . (a) Determine a velocidade da onda. (b) Calcule o comprimento de onda. (c) Escreva sua função de onda y ( x ,   t ) . Suponha que o oscilador tenha seu deslocamento máximo para cima no instante t = O. (d) Calcule a aceleração transversal máxima dos pontos na corda. (e) Quando tratamos das ondas transversais neste capítulo, a força da gravidade foi ignorada. Essa aproximação é razoável para essa onda? Explique.

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

“Se alguma coisa está dificil de ser feita, é porque não é para ser feita" # sóquenão”

  1. Como temos a tensão e a densidade, fica tranquilo determinar a velocidade:

    2. v = F μ

    v = 5   N 0,05 k g / m = 10 m / s

    Passo 2

  2. Com a velocidade determinada e a frequência dada no enunciado, o comprimento de onda é:

    3. v = λ f

    E é só substituir:

    λ = v f

    λ = 10 40

    λ = 0,25 m

    Passo 3

  3. A função de onda mais geral que aprendemos é essa aqui ó:

    4. y x , t = A c o s ( k x - ω t )

    Agora precisamos calcular k   e   ω . Começando pelo número de onda:

    k = 2 π λ

    = 2 π 0,25

    = 8 π   r a d / m

    E agora a velocidade angular ω :

    ω = 2 π f

    = 2 ⋅ π ⋅ 40

    = 80 π   r a d / s

    Perfeito!

    Agora é só juntar tudo isso (e com o valor da amplitude que foi dado lá no enunciado) na equação geral das ondas:

    y x , t = 3 c m cos ⁡ [ ( 8 π   r a d / m ) x - ( 80 π   r a d / s ) t ]

    Passo 4

  4. A aceleração vai ser a segunda derivada temporal da posição.

    5. Então começamos derivando uma vez y x , t :

    ∂ y ∂ t = A ω s e n ( k x - ω t )

    E derivando novamente:

    ∂ 2 y ∂ t 2 = - A ω 2 c o s ⁡ ( k x - ω t )

    E esse valor vai ser máximo quando c o s ⁡ ( k x - ω t ) for - 1 :

    a m á x = A ω 2

    E os valores de A e ω calculamos no passo anterior:

    a m á x = A 2 π f 2

    = 3 × 10 - 2 2 π ⋅ 40 2

    = 189 5   m / s 2

    Passo 5

  5. Para resolver essa problema vamos precisar usar nossos conhecimentos sobre comparação de grandezas.

Se a ordem de grandeza da aceleração transversal da corda for maior que a aceleração da gravidade, podemos considerar que o efeito da gravidade é desprezível.

Considerando a aceleração gravitacional de 9,8 m / s ² e a aceleração da corda 1895 m / s ² , vamos dividir uma pela outra para saber em quantas vezes a aceleração da corda é maior.

1895 m / s ² 9,8 m / s ²   = 193

Portanto, como a aceleração máxima da corda é mais que 190 vezes maior que a gravitacional, podemos considerar o efeito da gravidade desprezível.

Você deve estar se perguntando porque é justo comparar apenas com a aceleração máxima da corda, uma vez que seus pontos, uma vez que seus pontos também assumem valores menores que 9,8m/s², incluindo o valor zero.

Imagine o gráfico de y versus t para um dado x qualquer.

Ao considerar a gravidade, uma função constante, deveríamos deslocar o gráfico verticalmente.

Mas o fato de que 9,8 m / s 2   → 1895 m / s ² significa que esse deslocamento é muito menor que as dismensões do gráfico.

Certo, cérebro, eu não gosto de você e nem você de mim, então faça tudo certo pelo menos uma vez para que eu possa continuar te matando com estudos, certo?

Resposta

a )   10 m / s

b )   0,25 m

c ) y x , t = 3 c m cos ⁡ [ ( 8 π   r a d / m ) x - ( 80 π   r a d / s ) t ]

d ) 189 5 m / s 2

e )   a m á x ≫ g

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