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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 28

Um oscilador harmônico possui frequência w e amplitude A. (a) Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica é igual à energia cinética? (Suponha que U = O no equilíbrio.) (b) Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo? Qual é o intervalo entre duas ocorrências consecutivas? (c) No momento em que o deslocamento é

igual a A/2, qual é a fração da energia total do sistema referente à energia cinética e a qual fração corresponde à energia potencial?

Passo 1

  1. Sabemos que a energia de um objeto em movimento harmônico simples é dada por

    2. E = U s + K

    E = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2

    E = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2

    Assim, quando a energia potencial elástica é igual à energia cinética 1 2 k x 2 = 1 2 m v 2 , podemos escrever a equação da seguinte forma:

    2 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2

    2 1 2 m v 2 = 1 2 k A 2

    Resolvendo (1) para x para encontrar o deslocamento e resolvendo (2) para v para encontrar a velocidade. Resolvendo (1) para x:

    k x 2 = 1 2 k A 2

    x 2 = 1 2 A 2

    x = ± 1 2 A 2

    x = ± A 2

    m v 2 = 1 2 k A 2

    v 2 = k A 2 2 m

    v = ± k A 2 2 m

    v = ± A 2 k m

    v = ± A ω 2

    Como só precisamos do módulo da velocidade, então

    v = A ω 2 , A 2

    Passo 2

  2. Sabemos que o bloco que sofre o MHS está se movendo para frente e para trás em torno de seu ponto de equilíbrio duas vezes, mas cada vez em uma direção diferente. Vamos supor que inicialmente você está esticando a mola uma distância AA para a direita e depois a solta. A massa conectada à mola se moverá de (+A para 0), de (0 para −A), de (−A para 0) e finalmente de (0 para +A) para complete um ciclo, conforme você vê as 4 setas na figura abaixo.

    Sabemos, da parte (a) acima, que o deslocamento do bloco quando U s = K é dado por x = ± A 2 que é uma posição entre 0 e A para os quatro deslocamentos que completam um ciclo (as quatro setas abaixo).

    Isso significa que a igualdade entre a energia potencial elástica e a energia cinética do sistema ocorre 4 vezes durante um ciclo completo.

    Os pontos azuis, na figura abaixo, representam as posições em que U s = K

    Agora precisamos encontrar o tempo entre as ocorrências, que é da segunda figura abaixo é dado por

    t 2 - t 1 ,   t 3 - t 2 , t 4 - t 3 ,   t 5 - t 4

    Assumimos que não há forças externas exercidas no sistema [massa+mola], o que significa que a massa está se movendo para trás e força sem atrito (a superfície é sem atrito).

    Isso significa que o tempo que a massa levaria para passar da posição 1 para a posição 2 é o mesmo tempo que levaria para passar da posição 3 para a posição 4. (Observando que a distância de 1 a 3 é a mesma distância de 3 a 4 , veja a primeira figura acima).

    E pela mesma abordagem, o tempo que a massa levaria para se mover da posição 2 para a posição 3 é o mesmo tempo que levaria para se mover da posição 4 para a posição 1 (posição 1 em t = t 5 ).

    Portanto, precisamos encontrar apenas t 2 - t 1   e   t 3 - t 2 .

    x t = Acos ⁡ ω t + ϕ

    x ( t ) = A c o s ⁡ ω t

    A 2 = A c o s ⁡ ω t 1

    1 2 = c o s ⁡ ω t 1

    ω t 1 = c o s - 1 ⁡ 1 2 ω t 1 = π 4 t 1 = π 4 ω

    - A 2 = A c o s ⁡ ω t 2 - 1 2 = c o s ⁡ ω t 2 ω t 2 = c o s - 1 ⁡ - 1 2 ω t 2 = 3 π 4 t 2 = 3 π 4 ω

    t 2 - t 1 = 3 π 4 ω - π 4 ω t 2 - t 1 = 2 π 4 ω t 2 - t 1 = π 2 ω

    Agora precisamos encontrar t 3 - t 2 . Podemos encontrá-lo encontrando o tempo que a massa leva da posição +A para -A e depois subtrair t 2 do resultado. Isso nos dará o tempo que o bloco leva da posição - A / 2 até −A enquanto se move para o oeste. Em seguida, podemos multiplicar o resultado por 2, pois o bloco percorrerá a mesma distância (−A a - A / 2 ), mas para frente, NÃO para trás como primeiro. Por isso,

    - 1 = c o s ⁡ ω t ω t = c o s - 1 ⁡ ( - 1 ) ω t = π t = π ω

    t - t 2 = π ω - 3 π 4 ω t - t 2 = π 4 ω

    2 t - t 2 = 2 π 4 ω 2 t - t 2 = π 2 ω t 3 - t 2 = π 2 ω

    Passo 3

  3. 1 2 k A 2 = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2

U s E = 1 2 k x 2 1 2 k A 2 U s E = x 2 A 2 U s E = A 2 2 2 × A 2 U s E = 0.25 K = E - U s = E - 0.25 E K = 0.75 E

Resposta

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