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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 22

Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2,00   k g preso a uma mola de constante elástica 100   N / m . Em t = 1,00   s , a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129   m e v = 3,415   m / s . (a) Qual é a amplitude das oscilações? Qual era (b) a posição e (c) a velocidade do bloco em t = 0   s ?

Passo 1

Vamos começar escrevendo as funções que dão a velocidade e a posição do oscilador:

x t = A . c o s ⁡ ( ω t + φ )

v t = - A ω . sen ⁡ ( ω t + φ )

As primeiras informações que a questão dá são a massa e a constante elástica da mola. Podemos usar isso pra achar a frequência angular do oscilador:

ω = k m = 100 2 = 50 = 7,07   r a d / s

E o resto a gente pode resumir em um sistema:

x 1 = 0,129 = A c o s ⁡ ( ω + φ )

v 1 = 3,415 = - A ω . sen ⁡ ( ω + φ )

Nosso primeiro objetivo é achar o valor de A .

Passo 2

Tem várias formas de resolver esse sistema pra achar A , mas o jeito mais fácil é tirar proveito dessa propriedade dos senos e cossenos:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Quer ver? Primeiro vamos elevar as duas equações ao quadrado:

0,129 2 = A 2 . cos 2 ⁡ ( ω t + φ )

3,415 2 = A ω 2 . sen 2 ⁡ ( ω t + φ )

Agora vamos isolar os senos e os cossenos em cada uma:

cos 2 ⁡ ( ω t + φ ) = 0,129 2 A 2

sen 2 ⁡ ( ω t + φ ) = 3,415 2 A ω 2

A soma desses dois tem que dar 1 , então:

0,129 2 A 2 + 3,415 2 A ω 2 = 1

Agora multiplicando tudo por A 2 e substituindo o valor de ω :

0,129 2 + 3,415 2 7,07 2 = A 2

A 2 = 0,249

A ≈ 0,500   m

E essa é a resposta da letra (a).

Passo 3

(b) e (c). Agora queremos saber os valores de x ( 0 ) e v ( 0 ) . Substituindo t = 0 nas funções lá de cima, encontramos o seguinte:

x 0 = A . cos ⁡ φ

v 0 = - A ω . sen ⁡ ( φ )

A única coisa que não conhecemos aí é o valor da constante de fase φ . Mas dá pra descobrir sem problemas.

Vamos pegar, por exemplo, uma das informações que o enunciado deu:

0,129 = A c o s ⁡ ( ω + φ )

Agora que a gente sabe o valor de A :

cos ⁡ ω + φ = 0,129 0,5

cos ⁡ ω + φ = 0,258

Daí a gente descobre que:

ω + φ = cos - 1 ⁡ ( 0,258 )

Ou seja:

φ = cos - 1 ⁡ ( 0,258 ) - ω

E uma solução entre 0 e 2 π é:

φ = - 1,31 - 7,07 = - 8,38   r a d

Passo 4

Agora sim, voltando às fórmulas originais que queríamos usar:

x 0 = A . cos ⁡ φ

v 0 = - A ω . sen ⁡ ( φ )

Já podemos substituir:

x 0 = ( 0,5 ) . cos ⁡ - 8,38 = - 0,251   m

v 0 = - 0,5 7,07 . sen ⁡ - 8,38 = 3,06   m / s

Pronto!

Resposta

(a) A = 0,500   m

(b) x 0 = - 0,251   m

(c) v 0 = 3,06   m / s

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