Enunciado

Um bloco de 0.120kg é suspenso por uma corda. Quando uma pequena pedra de massa de 30 g é colocada no bloco, a mola estende por mais 5.0 cm. Com a pedra no bloco, a mola oscila com amplitude de 12cm. (a) qual a frequência do movimento? (b) Quanto tempo o bloco leva para percorrer do seu ponto mais baixo ao ponto mais alto? (c) Qual é a força resultante sobre a pedra quando ela está no ponto de deslocamento máximo para cima?

Passo 1

a) Temos uma mola que oscila com um bloco e uma pedra pendurados nela.

Para determinarmos a frequência do movimento do sistema da letra (a), precisaremos escrever a equação da frequência para esse movimento.

A fórmula da frequência angular para um corpo que está na mola vertical é

w = k M

Substituindo isso na relação entre frequência angular e frequência

w = 2 π f

k M = 2 π f

Isolando f temos a nossa expressão para a frequência

f = 1 2 π k M

Onde k é a constante na mola e M é a soma da massa do bloco e da pedra.

M = 0.120 k g + 0.03 k g = 0.15 k g

Passo 2

Vamos imaginar uma situação onde a pedra é adicionada bem devagar sobre o bloco, de modo que depois que a mola estende Δ y = 5   c m = 0,05 m (como o enunciado diz), tudo fica parado e o sistema fica em equilíbrio.

Para obtermos k, vamos precisar calcular as forças atuando apenas sobre a pedra de massa m nessa situação, pois o enunciado nos dá o quanto a mola se estendeu apenas depois de adicionar a pedra ao sistema. Pela Segunda Lei de Newton, considerando y + para cima

∑ F y = 0

F e - P = 0

Onde F e é a força elástica devido a presença da pedra e P é o peso da pedra. Lembrando que F e = k Δ y e P = m g

k ∆ y - m g = 0

k = m g ∆ y

Substituindo isso na equação da frequência:

f = 1 2 π m g ∆ y M = 1 2 π m g ∆ y M

E colocando os valores de cada grandeza:

f = 1 2 π 0.03 k g 9.81 m / s 2 0.05   m 0.15 k g = 1.0 H z

Passo 3

b) Pensa comigo: o período T é o tempo que a oscilação leva para sair de um ponto e chegar nele de novo. O tempo para percorrer do ponto mais alto até o ponto mais alto de novo é o período da oscilação, né?

Então, o tempo que o bloco leva para ir do ponto mais baixo ao mais alto pedido na letra (b), é a metade do período de uma oscilação

t = 1 2 T

Mas lembra que o período é o inverso da frequência:

T = 1 f

Substituindo na nossa continha

t = 1 2 f

Usando o que achamos no item anterior

t = 1 2 ⋅ ( 1 ) = 0.5   s

Passo 4

c) Queremos a força resultante na pedra quando ela está no ponto máximo. Podemos lembrar que a força e a aceleração no movimento oscilatório são proporcionais ao deslocamento medido em relação ponto de equilíbrio.

Então, se a pedra está no ponto máximo, ela está na distância máxima do ponto de equilíbrio. E assim, está no ponto onde a aceleração é máxima. A aceleração máxima desse movimento tem a fórmulinha:

a m á x = m A w 2

Onde A é a amplitude do movimento

Na letra (c) como a pedra está no deslocamento máximo para cima, significa que a aceleração é máxima nesse instante, então podemos relacionar a Segunda Lei de Newton com a equação da aceleração máxima e achar a força resultante sobre a pedra

F = m a

F = m a m a x

F = m A w 2

Escrevendo w em termos da frequência, lembrando w = 2 π f :

F = m A 2 π f 2

Substituindo os valores que temos:

F = 4 π 2 ( 0.03 k g ) ( 0.12 m ) ( 1   H z ) 2 = 0.14 N

Resposta

F = 0.14 N

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