Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 93
Um bloco, de masssa , está apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco, que está preso a uma extremidade de uma mola horizontal de constante de força , oscila com uma amplitude . Quando a mola está distendida ao máximo e o bloco está instantaneamente em repouso, um segundo bloco, de massa , é colocado sobre o primeiro. (a) Qual é o menor valor do coeficiente de atrito estático para o qual o segundo bloco não escorrega sobre o primeiro? (b) Explique como a energia mecânica total , a amplitude , a frequência angular e o período do sistema são afetados pela colocação de sobre , supondo que o coeficiente de atrito seja grande o suficiente para evitar escorregamento.
Passo 1
a) Então, querido, temos uma molinha horizontal oscilando com uma massa. Aí outra massa é colocada sobre ela. Ele quer saber o coeficiente de atrito estático mínimo para essa massinha segunda não deslizar quando a mola oscila.
Para que o segundo bloco não escorregue sobre o primeiro, a força de atrito entre eles tem que ser no mínimo igual a força associada à aceleração máxima que esse bloco adquire junto ao oscilador.
Vamos imaginar que o bloco está na iminência do deslocamento. Então a força de atrito sobre ele é
Onde é a força normal desse segundo bloco sobre o primeiro. Mas como estamos num plano horizontal, então , sendo o peso desse segundo bloco
Assim:
Passo 2
A força associada a aceleração que o bloco 2 ganha ao ser colocado no oscilador é
Sendo que é a aceleração quando a mola ela está distendida no máximo. Então essa aceleração vai ser máxima, porque o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio é máximo (a aceleração é proporcional a esse deslocamento no movimento massa-mola):
Igualando e para não haver deslizamento:
Isolando o coeficiente de atrito que queremos
Passo 3
Em um oscilador harmônico, nós sabemos que a aceleração máxima é dada por:
E a frequência angular do oscilador com as duas massas é:
Substituindo isso na expressão da aceleração máxima
Portanto, o coeficiente de atrito estático é:
Passo 4
(b) Queremos avaliar as propriedades desse movimento quando essa massa é adicionada ao sistema. Vamos começar analizando a amplitude.
Aí aqui devemos perceber que temos um MHS. Nesse caso, devemos lembrar que a amplitude não depende da massa do sistema. Como isso foi a única coisa que mudou, a amplitude permanece igual.
A energia mecânica se relaciona com a amplitude pela seguinte fórmula:
E então, se é constante e é uma propriedade imutável da mola, deve ser constante também. Então não muda.
Passo 5
A frequência angular depende da massa total que está presa à mola. Para o caso inicial
E como a massa aumenta de para , vamos ter
Percebe que o denominador de é maior que o de . Assim, . Então a frequência angular vai diminuir.
E o período está relacionado à frequência angular pela seguinte expressão:
Então quando é reduzido (o denominador da expressão acima diminui), aumenta.
Resposta
(a) .
(b) e são constantes, é reduzido e aumenta.