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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 39.Problemas - Ex. 67

Uma partícula é descrita por uma função de onda normalizada dada por ψ ( x , y , z ) = A e - α ( x 2 + y 2 + z 2 ) , onde A e α são constantes positivas reais. (a) Determine a probabilidade de a partícula ser encontrada no volume entre r e r + d r a partir da origem. (Sugestão: Veja o problema 39.66. Considere uma coroa esférica centralizada na origem com raio interno r e com espessura d r ). (b) Para que valores de r a probabilidade no item (a) atinge seu valor máximo? Esse valor é igual ao que você obtém quando ψ ( x , y , z ) 2 atinge seu valor máximo? Caso não seja igual, explique as diferenças.

Passo 1

letra a)

A probabilidade é dada por:

P = Ψ 2 d V

P = 4 π r 2 Ψ 2 d r

Passo 2

Escrevendo a norma da função de onda:

Ψ 2 = A 2 e - 2 α x 2 + y 2 + z 2

Ψ 2 = A 2 e - 2 α r 2

Então a probabilidade será:

P = 4 π r 2 A 2 e - 2 α r 2 d r

Passo 3

letra b)

O valor de r para a probabilidade ser máxima, será dado por:

d P d r = 0

d d r 4 π r 2 A 2 e - 2 α r 2 = 0

d d r r 2 e - 2 α r 2 = 0

2 r ⋅ e - 2 α r 2 - 2 α ⋅ 2 r ⋅ r 2 e - 2 α r 2 = 0

r - 2 r 3 α = 0

r 1 - 2 r 2 α = 0

Temos que r = 0 é uma solução para essa equação acima, contudo esse valor não é o máximo de probabilidade, logo vamos continuar.

Passo 4

Considerando então só o termo entre parênteses, teremos:

2 r 2 = 1 α

Logo:

r = ± 1 2 α

Como estamos considerando apenas os valores positivos:

r = 1 2 α

Resposta

letra a) P = 4 π r 2 A 2 e - 2 α r 2 d r

letra b) r = 1 2 α .

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