Enunciado

Em t=0, uma partícula localizada na origem tem uma velocidade de 40 m/s a θ = 45 ° . Em t=3,0 s, a partícula está em x=100 m e y =80 m e tem uma velocidade de 30 m/s a θ = 50 ° . Calcule (a) a velocidade média e (b) a aceleração média da partícula durante este intervalo de 3 s.

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. A gente tem uma partícula. E ele dá duas posições dessa partícula ao longo do tempo, e informações sobre a velocidade dela também.

Ele pede a velocidade média dessa partícula no intervalo dado. Como a gente tem o movimento em um plano, vamos usar a definição vetorial de velocidade média dada por:

v → m é d = ∆ r → ∆ t

Onde Δ t é o tempo decorrido dado por

Δ t = t 2 - t 1

Como na posição 1 temos t 1 = 0 e na posição 2 temos t 2 = 3 s , ficamos com:

Δ t = 3 - 0 = 3   s

Δ r → é o vetor deslocamento, ele é dado por:

Δ r → = r 2 → - r 1 →

Onde r 2 → é o vetor posição da partícula na segunda posição e r 1 → é o vetor posição da partícula na primeira posição. A ideia é achar esses vetores e calcular a velocidade média. Bora!

Passo 2

Para montar o vetor posição de uma partícula, a gente coloca as coordenadas da posição nas componentes de um vetor.

Como na posição 1 estamos na origem, no ponto 0,0 , o vetor posição é

r 1 → = 0 i ^ + 0 j ^

Já na segunda posição, estamos no ponto 100,80 , então o vetor posição é

r 1 → = 100   m i ^ + 80   m j ^

Com esses dois vetores, podemos calcular Δ r → :

Δ r → = r 2 → - r 1 →

∆ r → = 100   m i ^ + 80   m j ^ - 0 i ^ + 0 j ^

∆ r → = 100   m i ^ + 80   m j ^

Substituindo isso e Δ t = 3 s na expressão da velocidade média:

v → m é d = ∆ r → ∆ t

v → m é d = 100   m i ^ + 80   m j ^ 3   s

v → m é d = 33,3   m / s i ^ + 26,7   m / s j ^

Passo 3

b) Ele pede a aceleração média da partícula. A gente vai fazer algo parecido com o item anterior. Vamos usar a expressão vetorial da aceleração média dada por:

a → m é d = ∆ v → ∆ t

Esse termo Δ v → pode ser reescrito assim:

a → m é d = v → 2 - v → 1 ∆ t

Δ t é o mesmo do item anterior e vale 3 s . Só precisamos encontrar os vetores v → 2 e v → 1 que representam a velocidade da partícula em cada posição dada.

Mas lembra que ele deu o módulo v da velocidade da partícula e a orientação θ dessa velocidade em cada posição? Então para achar o vetor velocidade para cada posição, tudo que a gente precisa fazer é substituir essas duas informações em um vetor do tipo:

v → = v cos ⁡ θ   i ^ + v   s e n   θ   j ^

Isso representa que a gente vai achar as componentes em cada eixo do vetor a partir do ângulo que as orienta e do seu módulo. Vamos lá!

Passo 4

Para a posição 1 temos v = 40   m / s e θ = 45 ° :

v → = v cos ⁡ θ   i ^ + v   s e n   θ   j ^

v → 1 = 40 m s cos ⁡ 45 ° i ^ + 40 m s sin ⁡ 45 ° j ^

v → 1 = 28,28 m s i ^ + 28,28 m s j ^

Para a posição 2 temos v = 3 0   m / s e θ = 50 ° :

v → = v cos ⁡ θ   i ^ + v   s e n   θ   j ^

v → 2 = 30 m s cos ⁡ 50 ° i ^ + 30 m s sin ⁡ 50 ° j ^

v → 2 = 19,28 m s i ^ + 22,98 m s j ^

Substituindo esses dois vetores na expressão da aceleração média:

a → m é d = v → 2 - v → 1 ∆ t

a → m é d = 19,28 m s i ^ + 22,98 m s j ^ - 28,28 m s i ^ + 28,28 m s j ^ 3   s

a → m é d = - 9 m s i ^ + - 5,3 m s j ^ 3   s

a → m é d = - 3 m s 2 i ^ + - 1,8 m s 2 j ^

Resposta

a ) v → m é d = 33,3   m / s i ^ + 26,7   m / s j ^

b ) a → m é d = - 3 m s 2 i ^ + - 1,8 m s 2 j ^

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