Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 77
Uma partícula com massa m sofre ação de uma força conservativa e se desloca ao longo de uma trajetória dada por e , onde , e são constantes. (a) Ache
os componentes da força que atua sobre a partícula. (b) Ache a energia potencial da partícula em função de x e y. Considere quando e . (c) Ache a energia total da partícula
quando (i) , e (ii),.
Passo 1
Conhecemos as coordenadas de uma partícula em um plano e nossa tarefa é encontrar a força atuante na partícula e determinar a energia potencial dessa partícula. A partir das equações do movimento, fica imediatamente claro para nós que a partícula vibra no plano 2D.
Para que possamos encontrar a aceleração, temos que encontrar a derivada segunda da função, ou seja:
e
Também, aplicaremos a segunda lei de Newton para os eixos e :
E
Sabemos que também que a energia potencial é dada por:
Passo 2
Assim, derivando a função:
E
E integrando:
E
Além do mais, a velocidade é dada por:
E
E calculamos a energia por:
Passo 3
- Então, no eixo :
- Então, para encontrarmos a energia potencial, fazemos:
- Encontraremos a energia total da partícula nos casos que nos foi pedido.
E agora derivando novamente
E
E no eixo :
Derivando novamente:
E
Passo 4
Passo 5
Primeiro iremos calcular a velocidade, para que possamos calcular a sua energia cinética:
E
Passo 4
- Quando e :
- Quando e :
e
Então,
E
Isso implica que:
Passo 7
E
Assim,
E
Isso implica que:
A energia total é a mesma nos dois pontos, e a energia total do sistema é constante.
Resposta
- e