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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 37.Problemas adicionais - Ex. 81

Uma partícula de massa m tem uma velocidade de c 2 em relação ao referencial inercial S. A partícula colide com uma partícula igual em repouso no referencial. Qual a velocidade, em relação a S, de um referencial S ´ no qual o momento total das duas partículas é zero? Esse referencial é conhecido como referencial do centro de momento.

Passo 1

Vamos fazer algumas considerações, vamos chamar de partícula 2 a primeira partícula que tem velocidade c 2 .

É dito que que o momento total das duas partículas é zero no referencial S ´ uma implicação disso é que as duas partículas devam ter modulo c 2 só que uma vai em um sentido e a outra segue no sentido oposto para quando somarmos vetorialmente os dois momentos, termos zero de momento.

v 1 = v 2 = c 2 isso com relação a referencial S ´ .

Passo 2

Agora nós podemos utilizar a transformada de Lorentz para descobrir a velocidade com relação a o referencial S .

v 2 ´ = v 2 - u 1 1 - u 2 u 1 c 2       c o m   v 2 = c 2

v 2 ´ = c 2 - u 1 1 - c 2 u 1 c 2

Mas essas duas velocidades têm que ser iguais para o momento ser zero logo:

u 1 = c 2 - u 1 1 - c 2 u 1 c 2

u 1 1 - c 2 u 1 c 2 = c 2 - u 1

u 1 - u 1 2 2 c = c 2 - u 1

- u 1 2 2 c + 2 u 1 - c 2 = 0

Passo 3

O último passo é resolver a equação do 2° grau para descobrirmos u 1 :

- u 1 2 2 c + 2 u 1 - c 2 = 0

Resolvendo essa equação nós obtemos u 1 = c ( 2 ± 3 )

u 1 = c ( 2 + 3 ) e u 1 = c ( 2 - 3 )

Mas c 2 + 3 definitivamente é maior que c logo pelo princípio da relatividade que diz que a velocidade limite para a matéria é c, essa solução não é validade:

Sobrando somente u 1 = c 2 - 3 .

Resposta

u 1 = c 2 - 3 .

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