Uma partícula se move em um círculo centrado na origem, a magnitude de seu vetor posição r → sendo constante. (a) Derive r → ∙ r → = r 2 = c o n s t a n t e em relação ao tempo, para mostrar que v → ∙ r → = 0 e, portanto, que v → ⊥ r → . (b) Derive v → ∙ r → = 0 em relaçào ao tempo, e mostre que a → ∙ r → + v 2 = 0 e, portanto, que a r = - v 2 / r . (c) Derive v → ∙ v → = v 2 em relação ao tempo para mostrar que a → ∙ v ^ = d v / d t e, portanto, que a t = d v / d t .

Enunciado

Letra (a)

Vamos derivar:

Pela regra do produto (deriva a primeira repete a segunda, deriva a segunda repete a primeira)

Isso mostra que .

Letra (b)

Vamos derivar de novo:

Veja que . Só que é a componente da aceleração na direção de : . Ou seja:

Joga a equação 2 na equação 1:

Isola p :

Letra (c)

Vamos derivar mais uma vez:

Usando a regra do produto no lado esquerdo e a regra da cadeia no lado direito:

Agora a gente divide os dois lados por :

Lembra agora que significa decompor a aceleração na direção de , ou seja:

Pela última equação do passo 4, a gente conclui que:

Letras (a), (b) e (c): ver solução