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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 47

Uma partícula se move em um círculo centrado na origem, a magnitude de seu vetor posição r → sendo constante. (a) Derive r → ∙ r → = r 2 = c o n s t a n t e em relação ao tempo, para mostrar que v → ∙ r → = 0 e, portanto, que v → ⊥ r → . (b) Derive v → ∙ r → = 0 em relaçào ao tempo, e mostre que a → ∙ r → + v 2 = 0 e, portanto, que a r = - v 2 / r . (c) Derive v → ∙ v → = v 2 em relação ao tempo para mostrar que a → ∙ v ^ = d v / d t e, portanto, que a t = d v / d t .

Passo 1

Letra (a)

Vamos derivar:

d d t r → ∙ r → = d d t ( c o n s t a n t e )

Pela regra do produto (deriva a primeira repete a segunda, deriva a segunda repete a primeira)

v → ∙ r → + r → ∙ v → = 0

2 v → ∙ r → = 0

v → ∙ r → = 0

Isso mostra que v → ⊥ r → .

Passo 2

Letra (b)

Vamos derivar de novo:

d d t v → ∙ r → = d d t 0

a → ∙ r → + v → ∙ v → = 0

a → ∙ r → + v 2 = 0             E q .   1

Passo 3

Veja que a → ∙ r → = r a c o s θ = r ( a c o s θ ) . Só que a c o s θ é a componente da aceleração na direção de r → : a cos ⁡ θ = a r . Ou seja:

a → ∙ r → = r a r             E q .   2

Joga a equação 2 na equação 1:

r a r + v 2 = 0

Isola p a r :

r a r - v 2

a r = - v 2 r

Passo 4

Letra (c)

Vamos derivar mais uma vez:

d d t v → ∙ v → = d d t ( v 2 )

Usando a regra do produto no lado esquerdo e a regra da cadeia no lado direito:

a → ∙ v → + v → ∙ a → = d d v v 2 d v d t

2 a → ∙ v → = 2 v d v d t

a → ∙ v → = v d v d t

Agora a gente divide os dois lados por v :

a → ∙ v → v = d v d t

a → ∙ v ^ = d v d t

Passo 5

Lembra agora que a → ∙ v ^ significa decompor a aceleração na direção de v → , ou seja:

a → ∙ v ^ = a t

Pela última equação do passo 4, a gente conclui que:

a t = d v d t

Resposta

Letras (a), (b) e (c): ver solução

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1.95 Você tem os vetores A → = 5 , 0 i ^ - 6,5 j ^ e B → =- 3,5 i ^ + 7,0 j ^ . Um terceiro vetor C → está no plano xy. O vetor C → é ortogonal ao vetor A → , e o produto escalar de C → com B → é 15,0
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