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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 2.9 - Ex. 56

Uma pedra é deixada cair em um rio a partir de uma ponte situada 43,9   m acima da água. Outra pedra é atirada verticalmente para baixo 1,0   s após a primeira ter sido deixada cair. As pedras atingem a água ao mesmo tempo.

( a ) Qual era a velocidade inicial da segunda pedra?

( b ) Plote a velocidade em função do tempo para as duas pedras, supondo que t   =   0 é o instante em que a primeira pedra foi deixada cair

Passo 1

Vamos fazer um diagrama do momento em que a segunda pedra é atirada ao rio, 1   s após a primeira ter caído.

Sabendo que a velocidade inicial da pedra 1 é nula então a equação da posição da pedra 1 será de:

x p e d r a 1 = x 0 + v 01 t 1 - 1 2 g t 1 2

Onde a aceleração da gravidade é a aceleração de queda das duas pedras e considerando t 1   como o tempo de queda dessa pedra nós temos:

0 = 43.9 - 9.81 2 t 1 2

t 1 = 2.99   s

Então a pedra 1 leva 2.99 segundos para cair.

Passo 2

Agora vamos escrever a equação de movimento da pedra 2 .

x p e d r a 2 = x 0 + v 0 2 t 2 - 1 2 g t 2 2

Considerando t 2 o tempo de queda dessa pedra e sabendo que as duas pedras caem tocam o chão ao mesmo tempo com a pedra 2 tendo partido 1   s depois da pedra 1. Com essas informações o tempo de queda da pedra 2 será de:

t 2 = 2.99 - 1 = 1.99   s

Logo quando a pedra 2 toca o chão nós teremos uma velocidade inicial de:

0 = 43.9 - v 02 ⋅ 1.99 - 9.81 2 ⋅ 1.99 2

Temos que considerar que a velocidade inicial da pedra 2 é para baixo tal como no desenho.

v 02 = 43.9 - 9.81 2 ⋅ 1.99 2 1.99 = 12 . 3   m / s

Ou seja t 2 = t 1 - 1

Passo 3

Reescrevendo a equação de posição da pedra 1 nós temos:

x p e d r a 1 = x 0 + v 01 t 1 - 1 2 g t 1 2

x p e d r a 1 = 43.9 - 9.81 2 t 2 = 43.9 - 4.905 t 2

Derivando isso no tempo temos a velocidade da pedra 1:

v p e d r a 1 = - 9.81 t

Já a equação da posição da pedra 2 será:

x p e d r a 2 = 43.9 - 12.3 ( t - 1 ) - 9.81 2 ( t - 1 ) 2

Considerando t 1 = t já que t = 0 pelo enunciado da letra b é o instante em que a primeira pedra (pedra 1) foi deixada cair. Derivando isso no tempo nós temos a equação da velocidade da pedra 2 como:

v p e d r a 2 = - 12.3 - 9.81 ( t - 1 )

Plotando os dois gráficos nós temos:

Com a reta vermelha sendo a pedra 1 e a reta azul a segunda note que a reta azul começa em 1s e termina no mesmo tempo que cessa a reta vermelha.

Resposta

a )   12.3   m / s

b )   I m a g e m   d o   P a s s o   3

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