Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 86
Um peixe-arqueiro lança um gota d’água da superfície de um pequeno lago, a um ângulo de 60° acima da horizontal. Seu alvo é uma apetitosa aranha sentada em uma folha distante 50 cm, para o leste, em um ramo que está a uma altura de 25 cm acima da superfície da água. O peixe está tentando derrubar a aranha na água, para comê-la. (a) Para que ele seja bem sucedido, qual deve ser a rapidez inicial da gota d’água? (b) Ao atingir a aranha, a gota d’água está subindo ou descendo?
Passo 1
a) Oi pessoal, tudo bem? Ele diz que o peixe lança a gota a um ângulo de com uma velocidade inicial .
Na vertical temos a ação da gravidade, então teremos um movimento com aceleração constante. E na horizontal não há aceleração (desconsiderando a resistência do ar), então temos velocidade constante.
Ele quer atingir uma aranha que está a uma distância de , então o deslocamento horizontal da gota deve ser:
E ela está a um altura de , então o deslocamento vertical deve ser:
E o enuncido quer saber a rapidez inicial da gota.
Como temos um movimento vertical independente do movimento horizontal, é uma boa escrever as componentes de , que tem essa fórmulinha quando temos um ângulo acima da horizontal:
Aí partir dessas informações e das equações referentes a cada tipo de movimento, vamos chegar no valor de . Bora lá!
Passo 2
Vamos começar equacionando o movimento horizontal. A gente tem o deslocamento, e sabe que o movimento na horizontal tem velocidade constante. Logo vai ser a velocidade de todo o movimento. Por isso, a gente pode usar a equação:
Onde , e :
Agora vamos analisar o movimento vertical. Também temos o deslocamento. E sabemos que a acelaração é a da gravidade . Ela é negativa porque aponta para baixo.
Pensamos nessas coisas, a gente pode usar a equação horário da posição para constante:
Lembrando que temos uma expressão para e :
Passo 3
Percebe que a gente tem duas equações:
E temos duas incógnitas, e . Como queremos , vamos isolar a primeira equação e substituir na segunda:
Substituindo na segunda:
Isolando e resolvendo para a velocidade inicial, temos:
Substituindo os valores, temos:
Passo 4
b) Para saber se a gota estará caindo ou subindo ao atingir a aranha, podemos analisar a componente da sua velocidade vertical no momento. Se esta for positiva a gota está subindo, mas se for negativa, ela estará acaindo.
A gente pode usar a expressão da equação horária da velocidade quando temos aceleração constante (como é o caso da vertical):
Lembrando que e :
Só que não sabemos , né? Mas lembra que do movimento horizontal, a gente tinha que
E substituindo isso na equação de :
Substituindo os valores, temos que:
Como a componente da velocidade vertical é negativa, a gota estará caindo.