Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 15
Um pêndulo físico é formado por uma barra delgada homogênea de comprimento , suspensa por um ponto à distância de seu centro, oscilando num plano vertical. Para que valor de o período de oscilação é mínimo? Quanto vale então?
Passo 1
Vamos começar com um desenho da situação:
Beleza. Agora vamos imaginar que essa barra oscila em torno do ponto vermelho por um ângulo .
Nesse caso, uma componente da força peso vai puxá-la de volta para a posição original:
E essa força vai agir a uma distância do ponto por está suspensa. Para pequenas oscilações podemos aproximar , então:
Passo 2
Agora precisamos encontrar uma expressão para o momento de inércia em torno do ponto de suspensão.
Vamos usar o teorema dos eixos paralelos, já que conhecemos o momento de inércia quando o eixo passa pelo centro:
Então:
Agora vamos dividir tudo por e reorganizar um pouco:
Que é a equação de um oscilador harmônico com a seguinte frequência angular:
E o período é:
Passo 3
Ok, agora temos uma expressão para o período em função de . Para achar o ponto de mínimo precisamos derivar e igualar a zero:
Podemos dividir os dois lados pelas constantes:
Como a raiz quadrada é sempre crescente, dá no mesmo procurar o ponto de mínimo do termo que está dentro da raiz:
Agora sim, vamos derivar:
Então esse é o valor que minimiza o período. Nesse caso, o período será:
Resposta
O período de oscilação é mínimo para . Nesse caso o período é .