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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 48

48. Um pêndulo simples de 2   m de comprimento, oscila em um ângulo máximo de 30,0 ° com a vertical. Calcule o seu período ( a ) supondo uma amplitude pequena e ( b ) usando os três primeiros termos da Equação ( 13.35 ) . ( c ) Qual das respostas às partes ( a ) e ( b ) é mais precisa? A resposta menos precisa está errada em que porcentagem em relação à resposta mais precisa?

Passo 1

Quando o enunciado fala para supormos que a amplitude é pequena (uma aproximação bem ruim para falar a verdade), nos dá a liberdade de usar a fórmula do período para pequenas amplitudes, que é:

T = 2 π L g

Depois ele fala para usarmos os três primeiros termos da equação 13.35 , que é:

T = 2 π L g 1 + 1 2 2 2 sin 2 ⁡ Θ 2 + 1 2 ⋅ 3 2 2 2 ⋅ 4 2 sin 4 ⁡ Θ 2 + …

Essa equação é a mais adequada quando temos amplitudes grandes, ela foi desenvolvida para casos assim, já a primeira equação só é aplicável a amplitudes pequenas, você pode concordar comigo que 30,0 ° não é uma amplitude pequena.

Assim o resultado mais preciso vai ser o fornecido pela segunda fórmula.

Para saber a porcentagem em que a menos precisa está errada com a primeira, basta fazer a diferença entre a menos precisa e a mais precisa e dividir essa diferença pela mais precisa.

É como se a resposta mais precisa fosse os 100 % e a menos precisa representasse uma porcentagem desses 100 % , queremos saber o quão menor é a resposta menos precisa da mais precisa. Assim:

m e n o s   p r e c i s a - m a i s   p r e c i s a m a i s   p r e c i s a

Passo 2

Vamos calcular o período utilizando a primeira fórmula. Temos o seguinte:

T = 2 π L g

Sabendo que L = 2,0   m e que g = 9,8   m / s 2 , ficamos com:

T = 2 π 2 9,8

Assim temos que:

T = 2,84   s

Passo 3

Agora vamos calcular o período com a segunda fórmula, então temos:

T = 2 π L g 1 + 1 2 2 2 sin 2 ⁡ Θ 2 + 1 2 ⋅ 3 2 2 2 ⋅ 4 2 sin 4 ⁡ Θ 2

Sabendo que L = 2,0   m , que g = 9,8   m / s 2 e que Θ = 30 ° , ficamos com:

T = 2 π 2 9,8 1 + 1 2 2 2 sin 2 ⁡ 30 2 + 1 2 ⋅ 3 2 2 2 ⋅ 4 2 sin 4 ⁡ 30 2

⇒ T = 2,84 1 + 1 4 sin 2 ⁡ 15 + 9 64 sin 4 ⁡ 15

Então:

T = 2,84 1 + 0,01674 + 0,00063

= 2,84 ( 1,01737 )

Assim temos que:

T = 2,89   s

Lembrando que esse é o resultado mais preciso.

Passo 4

Agora vamos achar a porcentagem pedida no item ( c ) , usando a a fórmula mostrada no passo 1 .

m e n o s   p r e c i s a - m a i s   p r e c i s a m a i s   p r e c i s a

Então temos que:

2,84 - 2,89 2,89 = - 0,017

Isso equivale a - 1,7 % .

Resposta

( a )

T = 2,84   s

( b )

T = 2,89   s

( c )

A resposta mais precisa é T = 2,89   s

A resposta menos precisa está errada em porcentagem em relação à resposta mais precisa em:

- 1,7 %

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